Силовые отношения в винтовой паре.

Рассмотрим соотношения между силами, действующими в винтовой паре с прямоугольной резьбой. Развернем виток прямоугольной резьбы винта по среднему диаметру d2 в наклонную плоскость, а гайку заменим ползуном (рис. 1). Подъему ползуна по наклонной плоскости соответствует навинчивание гайки на винт.

Как известно из теоретической механики, сила взаимодействия F между наклонной плоскостью и ползуном, возникающая при движении его по наклонной плоскости, представляет собой равнодействующую нормальной силы и силы трения между ними и наклонена к нормали n поверхности их соприкосновения под углом трения φ.

Разложим силу F на две составляющие: осевую силу Fа, действующую на винтовую пару, и окружную силу Ft вращающую гайку при ее навинчивании (в других случаях вращающую винт при его ввинчивании).

Из чертежа разложения сил (рис. 1) следует, что

F_t = F_a tg(psi + phi)

где ψ — угол подъема резьбы.

Очевидно, что крутящий момент Tв резьбе, создаваемый силой Ft, при навинчивании гайки или ввинчивании винта,

T = 0,5d_2F_t или T=0,5 d_2 F_a tg(psi + phi)

Спуску ползуна по наклонной плоскости (рис. 2) соответствует отвинчивание гайки или винта. В этом случае при разложении силы взаимодействия F между наклонной плоскостью и ползуном на осевую силу Fa и окружную силу F′t имеем

F prime _t=F_a tg(phi - psi)

Спуск ползуна по наклонной плоскости

Очевидно, что при F′t≥0 [что соответствует условию tg(φ-ψ)≥0] резьба будет самотормозящей. Следовательно, условие самоторможения прямоугольной резьбы математически определяется условием ψ≤φ. При подъеме ползуна по наклонной плоскости движущей силой Ft (рис. 1) на высоту, равную ходу резьбы Ph, работа движущих сил

W_{d.s} = F_t pi d_2

а работа сил полезных сопротивлений

W_{p.s} = F_a P_h=F_a pi d_2 tg psi

Коэффициент полезного действия η винтовой пары с прямоугольной резьбой при навинчивании гайки или ввинчивании винта.

eta = W_{p.s}/W_{d.s}={F_a pi d_2 tg psi}/(F_t pi d_2)={F_a tg psi}/ delim {[}{F_a tg (psi + phi)}{]}

или eta = {tg psi}/delim {[}{tg (psi + phi)}{]}

Из анализа формулы следует, что для самотормозящей винтовой пары, где ψ<φ, η<0,5.

Рассмотрим силовые соотношения, условия самоторможения и к. п. д, винтовой пары с треугольной или трапецеидальной резьбой. Так как рассуждения и выводы для указанных резьб одинаковы, то рассмотрим их применительно к треугольной резьбе. Если в рассмотренной винтовой паре заменим прямоугольную резьбу треугольной, то сила трения в резьбе, а следовательно, и окружная сила винтовой пары будут иметь другие значения. Определим силы трения и установим соотношения между силами трения в прямоугольной и треугольной резьбах. Для упрощения выводов угол наклона резьбы примем равным нулю. Сила трения для прямоугольной резьбы (рис. 3)

F_f= fF_a

где ƒ - коэффициент трения. Сила трения для треугольной (рис. 4) или трапецеидальной резьбы

F prime _f = fF_n={fF_a}/{cos(alpha/2)}=f prime F_a

где α - угол профиля резьбы,

ƒ′ - приведенный коэффициент трения:

f prime=f/{cos(alpha/2)}

Сила трения

Из формулы следует, что по сравнению с прямоугольной резьбой в треугольной и трапецеидальной резьбах трение больше. Для нормальной метрической резьбы α=60° и ƒ′=1,15ƒ, для трапецеидальной резьбы α=30° и ƒ′=1,04ƒ, следовательно, в этой резьбе трение больше, чем в прямоугольной резьбе, но меньше, чем в треугольной.

Сила трения трапецеидальной резьбы

Очевидно, что соотношению коэффициентов трения ƒ и ƒ′ соответствует соотношение между углами трения φ и φ′ где φ′ — приведенный угол трения:

phi prime approx phi/{cos(alpha/2)}

Соотношения между силами в прямоугольной и треугольной резьбах аналогичны. Поэтому по аналогии с формулами следует, что для треугольной или трапецеидальной резьбы окружная сила

F_t=F_a tg(psi+phi prime)

крутящий момент в резьбе

T=0,5d_2F_a tg(psi + phi prime)

условие самоторможения определяется выражением ψ≤φ′, коэффициент полезного действия

eta = {tg psi}/{tg(psi + phi prime)}

а для самотормозящей винтовой пары, где ψ< φ′, η<0,5.

Торцовая опорная поверхность гайки

Момент трения Tf на торце гайки или головки винта при их завинчивании определяют следующим образом. Торцовая опорная поверхность гайки или головки винта (рис. 5) принимается кольцевой с наружным диаметром D, равным раствору ключа, и внутренним диаметром d0 равным диаметру отверстия под болт, винт или шпильку. Принято считать, что давление на опорной поверхности распределяется равномерно, т. е.

p = {F}/delim {[}{{pi (D^2-d^2 _0)}/4}{]}

Таким образом, момент трения на торце гайки или головки винта

T_f= int{d_0/2}{D/2}{2 pi rho d rho p f rho}

или окончательно

T_f = (fF/3) delim{[}{(D^3-d^3 _0)/{(D^2-d^2_0)}}{]}

Для упрощения расчетов часто принимают, что равнодействующая силы трения ƒF на опорной поверхности гайки или головки винта действует по касательной к окружности среднего диаметра dc, опорной поверхности и момент

T_f=fFd_c/2 Где d_c=0,5(d_0+D)

Последняя формула при технических расчетах дает вполне достаточную точность.

Очевидно, что момент завинчивания гайки или ввинчивания установочного винта

T_z=T+T_f