Глава 2. Методика исследования данной работы

 

Методика исследовании.

Моя основная цель, найти более рациональный способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки.

Поэтому я решил использовать метод “Искусство", т.е. решать примеры нестандартно, придумать “свой метод", догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.

При решении систем уравнений второй степени часто используется также способ замены переменных - его я тоже решил применить.

Итак, для решения проблемы я решил использовать два методы решений:

1. метод "Искусство" - "свой метод"

2. метод замены переменных

Этапы исследования.

 

 

 

Основными методами решения систем являются метод подстановки и метод введения новых переменных.

Предлагается симметрическая система уравнений; стабильная замена переменных

 

 

Решение задач:

Старинная задача.

Три сестры пришли на рынок с цыплятами. Одна принесла для продажи 10 цыплят, другая 16, третья 26. До полудня они продали часть своих цыплят по одной и той же цене. После полудня опасаясь,, что не все цыплята будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся цыплят снова по одинаковой цене. Домой все трое вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продаж 35 рублей.

По какой цене продали они цыплят до и после полудня?

Решение

Обозначим число цыплят проданных каждой сестрой до полудня, через х, у, z. Во вторую половину дня они продали 10 - х, 16 - у, 26 - z. Цену до полудня обозначим через m, после полудня - через n. Для ясности сопоставим эти обозначения.

 

Число проданных цыплят				цена
До полудня После полудня	Х 10 - х	У 16 - у	Z 26 - z	m n

 

Первая сестра выручила: m х + n (10 - х) следовательно, m х + n (10 - х) = 35, вторая: m у + n (16 - у) следовательно, m у + n (16 - у) =35, третья: m z + n (26 - z) следовательно, m z + n (26 - z) =35

Преобразуем эти три уравнения:

 

 m х + n (10 - х) = 35        (m - n) х +10 n =35

m у + n (16 - у) =35 (        m - n) у +16 n =35

m z + n (26 - z) =35           (m - n) z +26 n =35

 

Вычтя из третьего уравнения первое, затем второе, получим:

 

(m - n) (z - х) +16 n =0               (m - n) (z - х) =16 n

(m - n) (z - у) +10 n =0 или        (m - n) (z - у) =10 n

Делим первое из этих уравнений на второе

 

х - z 8 х - z у - z

у - z = 5 или 8 = 5

 

так как х, у, z. - целые числа, то и у - z, х - z - тоже целые числа. Поэтому для существования равенства

 

х - z у – z, 8 = 5

необходимо, чтобы х - z делилось на 5, а у - z на 5. следовательно:

 

х - z у – z, 8 = t = 5

откуда х = z + 8 t у = z +5 t

 

Число t - не только целое, но и положительное, т.к х > z (в противном случае первая сестра не смогла бы выручить столько же, сколько третья).

 

Так как х <10, то z + 8 t < 10.

 

При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяет только в одном случае; когда z= 1 и t =1. Подставив эти значения в уравнения х = z + 8 t у = z +5 t находим х = 9, у = 6

Вернемся к уравнениям:

 

m х + n (10 - х) = 35

m у + n (16 - у) =35

m z + n (26 - z) =35

 

подставив в них найденные значения х, у, z., узнаем цены, по каким продавались цыплята. m = 3,75 рублей n - = 1,25 рублей

Итак, цыплята продавались до полудня по 3 рубля 75 копеек, после полудня по 1 рублю 25 копеек.

Эта задача, которая привела к трем уравнениям с 5 неизвестными, мы решили не общему образцу, а по свободному математическому соображению.

Очень много задач, таких как: отгадать день рождения, два числа и четыре действия, два двухзначных числа покупка галстуков, почтовых марок - решается приведением неопределенных уравнений второй степени - Диофантовы уравнения.