Проблемы, связанные с математическим подходом к анализу рассуждений

Можно предложить достаточно простой выход из обрисованного данного затянувшегося кризиса: в основу логики классов (или множеств) нужно заложить не отношение принадлежности, а отношение включения, основные структурные свойства которого в настоящее время хорошо исследованы и однозначно определены в математике. Однако такой подход почему-то не привлек внимания современных логиков и начал исследоваться лишь несколько лет назад автором данной статьи [13-21]. Разумеется, использование отношения включения при моделировании и анализе естественных рассуждений отнюдь не означает, что отношение принадлежности должно быть изъято из математики. Но это отношение нуждается в более строгом определении. В соответствии с программой Гильберта отношение принадлежности относится к "первичным" (т.е. неопределяемым) понятиям. Но за этой "первичностью" следует ряд общепринятых формальных построений, из которых следует, что данное отношение уже "скрыто" определено специалистами по основаниям математики достаточно четко как двусмысленное понятие.

Еще одной трудной проблемой, связанной с моделированием и анализом естественных рассуждений, является ответ на вопрос: возможно ли в принципе математическое обоснование логики естественных рассуждений? На первый взгляд, эта проблема кажется неразрешимой. Принято считать, что математика оперирует понятиями и символами, которые имеют строгое определение и смысл которых является фиксированным, по крайней мере, в рамках какого-то определенного раздела математики. В настоящее время можно найти немало конкретных публикаций по математике и логике, где это правило нарушается. Во многом это обусловлено упомянутой выше "логической диверсией", внедрившейся в математику в начале XX века. Но в целом это правило все же является эталоном математики. В то же время в естественном языке нередко одни и те же слова или сочетания слов даже в разных местах одного и того же краткого текста могут иметь разный, а иногда и существенно несопоставимый смысл. В естественном языке вполне уместны и даже неизбежны такие "нелогические" явления как омонимия, полисемия, тропы, метафоры и т.д., которые принято объединять термином "полиморфизм языка". Как же в этом случае можно для логического анализа рассуждений на естественном языке использовать математику с ее прямолинейностью и однозначностью?

Однако при такой постановке проблемы смешиваются два принципиально разных понятия: язык "вообще" с его неизбежным "полиморфизмом" и сравнительно короткие отрезки текстов, которые по некоторым признакам можно отнести к классу рассуждений и обоснований. Если мы в своих поисках математической основы логики ограничиваемся только рассуждениями и обоснованиями, то тем самым существенно упрощаем задачу. Можно допустить, что основные (структурообразующие) термины в рассуждении могут использоваться в самых необычных значениях (общепринятые значения, разумеется, тоже не противопоказаны), но в пределах рассуждения они не должны быть "полиморфными". В противном случае такой речевой акт (или текст) может быть чем угодно в пределах шкалы "образец бессмыслицы - литературный шедевр", но только не рассуждением. Тогда "проклятие полиморфизма" языка если даже не снимается полностью, то, по крайней мере, существенно ослабляется. И при этом с точки зрения логики совершенно неважно, о чем это рассуждение: о законах природы или языка, о перспективах победы на выборах какой-либо политической партии, о "проколах" в существующем законодательстве или о преимуществах бисквитного торта по сравнению с манной кашей.

Кроме того, оказывается, что проблема несовместимости языка математической логики с естественным языком не является единственной проблемой, препятствующей поиску приемлемой математической системы для моделирования и анализа естественных рассуждений. Многие исследователи по логике заметили, что в естественных рассуждениях могут успешно применяться методы и приемы, которые кажутся вполне обоснованными, но в то же время несовместимы с аксиомами математической логики. Примерами таких методов и приемов являются ситуации, когда какое-то конкретное формально правильное рассуждение можно опровергнуть с помощью некоторых не вызывающих сомнения аргументов. В этом случае исходное рассуждение либо опровергается полностью, либо модифицируется за счет изменения некоторых исходных положений. Примерно по такой схеме происходит сложный и мучительный процесс развития человеческого познания, но для современной математической логики сама постановка задач моделирования и анализа таких "модифицируемых" рассуждений плохо совместима с ее методами и исходными предпосылками.

Другим примером несовместимости математической и естественной логики является допустимая в естественном языке многовариантность отрицаний. Например, дано утверждение "Тигры - травоядные млекопитающие". С точки зрения математической логики отрицанием его должно быть единственное утверждение, которое на естественном языке формулируется как "Неверно, что тигры - травоядные млекопитающие". В то же время с точки зрения естественной логики можно сформулировать более конкретные альтернативные утверждения, например: "Тигры не травоядные", "Тигры не млекопитающие" и т.д. (заметим, что отрицание, также как и исходное утверждение, не обязательно должно быть истинным). При этом у многих непосвященных в язык математической логики наверняка вызовет удивление (и, возможно, даже недоумение) следующее обстоятельство: если перевести исходное утверждение о тиграх и любое из приведенных выше альтернативных утверждений на язык математической логики и соединить эти утверждения в одну систему исходных посылок, то окажется, что такое совмещение в рамках математической логики не является противоречивым.

Эти и многие другие несоответствия между математической логикой и естественными рассуждениями стали для многих логиков в разных странах мощным стимулом к поиску альтернативных формальных логических систем. Появилось большое число новых "неклассических" логик (модальная, многозначная, немонотонная, паранепротиворечивая, логика умолчаний, логика веры, нечеткая логика и т.д.). По самым скромным подсчетам в настоящее время насчитывается не менее сотни вариантов различных "неклассических" логик. От "классических" логик эти логики отличаются тем, что в них не соблюдаются некоторые из законов булевой алгебры, которая лежит в основе математической логики, а также в основе логики, которая считалась классической до изобретения математической логики. Среди законов булевой алгебры, которые стали объектом ревизии в рамках "неклассической" логики, оказались не только малоизвестные законы, но и те, которые до XX столетия считались в логике основными, такие как закон двойного отрицания, закон исключенного третьего, закон непротиворечия (эти законы классической логики нашли отражение в основных аксиомах булевой алгебры).

Мало того, оказывается в рамках этой парадигмы доказано существование континуума некоторых вариантов неклассических логик [22]. Теперь можно только ликовать - на каждого жителя Земли приходиться не менее континуума уникальных логик. Огорчает лишь одно обстоятельство: ситуация чем-то напоминает известный библейский сюжет о незавершенном строительстве Вавилонской башни.