Корневые критерии устойчивости

Оформление отчета

Содержание отчёта представлено в приложении. Оформляйте отчет по мере выполнения лабораторной работы. Отчет обязательно должен содержать:

- номер варианта;

- описание САУ в виде дифференциального уравнения;

- результаты выполнения всех пунктов инструкции, которые выделены серым фоном (см. ниже): результаты вычислений, графики, ответы на вопросы.

При составлении отчета рекомендуется копировать необходимую информацию через буфер обмена из рабочего окна среды Scilab. Для этих данных используйте шрифт Courier New, в котором ширина всех символов одинакова.

Все формулы, передаточные функции и матрицы, набираются в редакторе формул текстового процессора.

Передаточные функции в отчёте должны быть записаны в стандартной форме – по убывающим степеням переменной (начиная со старшей степени).

Все числовые значения округляются до трёх знаков в дробной части (например, вместо 0,123987678 пишем 0,124). Если значение меньше 1, нужно оставить 3 значащие цифры, например, 0,000123.

 

Основные понятия устойчивости движения непрерывных линейных САУ

САУ описывается системой дифференциальных уравнений. Если в системе имеются только один вход и один выход, то систему можно преобразовать к одному дифференциальному уравнению того же порядка, что и вся система. Пусть это дифференциальное уравнение записано в операторном виде (1)

                          ,                           (1)

где  – выходной сигнал;

   – входной сигнал;

 – полиномы (многочлены) оператора дифференцирования .

Пусть

                       (2)

Уравнение (1) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Его решение состоит из двух слагаемых: частного решения () и общего решения соответствующего однородного уравнения (), т.е.

                             .

В ТАУ общее решение называется собственным решением (движением), частное решение называется вынужденным решением (движением).

                             .                              (3)

Вынужденное решение удовлетворяет уравнению

                          .                           (4)

Вычитая (4) из (1), найдём уравнение собственных движений

                            .                              (5)

Уравнение (5) называется однородным уравнением для уравнения (1). Устойчивость или неустойчивость линейных САУ определяется только уравнением (5).

Будем различать 3 категории устойчивости:

1 – асимптотическая устойчивость,

2 – неустойчивость,

3 – граничная устойчивость.

Система называется асимптотически устойчивой, если при всех начальных условиях

               или .                 (6)

Система называется неустойчивой, если имеется хотя бы одно сочетание начальных условий, при котором

                            .                             (7)

Система называется находящейся на границе устойчивости (гранично устойчивой), если имеется хотя бы одно сочетание начальных условий, при котором  не стремится ни к нулю, ни к бесконечности, а при других начальных условиях выполняется условие (6).

 

Рисунок 1 – Асиптотическая устойчивость

 

 

Рисунок 2 – Неустойчивость

 

 

 

Рисунок 3 – Граничная устойчивость

Таблица коэффициентов

Вариант		n1	n2
	0.110	1.21	0.110	3.3000	3.4760	1.3100
	0.499	1.60	0.534	2.8280	2.9492	1.2120
	0.096	1.19	0.105	2.3957	2.2486	0.9182
	0.100	1.14	0.101	2.2228	2.0466	0.9181
	0.254	-1.39	0.277	1.8506	1.5440	0.7008
	-0.238	-0.99	-0.216	1.6833	1.3647	0.7031
	-0.222	0.88	-0.200	1.3408	0.9058	0.4617
	0.206	1.50	0.224	1.1975	0.7749	0.4637
	0.436	-1.79	0.475	1.2100	0.7720	0.3592
	-0.395	-0.69	-0.360	1.3366	0.8798	0.3591
	-0.356	0.66	-0.334	1.2120	0.7480	0.2761
	0.318	1.84	0.344	1.3382	0.8363	0.2761
	0.622	-2.18	0.677	1.3089	0.7762	0.2097
	-0.574	-0.44	-0.607	1.4377	0.8485	0.2096
	-0.477	0.26	-0.432	1.3972	0.7606	0.1568
	0.505	2.47	0.550	1.5150	0.8166	0.1558
	-0.772	0.29	-0.703	1.2543	0.6200	0.1119
	-0.808	-0.25	-0.739	1.1481	0.5774	0.1119
	-0.832	0.31	-0.766	0.8080	0.3737	0.0505
	0.879	3.50	0.793	0.7070	0.3535	0.0505

 

Описание системы

Исследуется система, описываемая математической моделью в виде передаточной функции

Результаты исследований

Нули передаточной функции

...

Полюса передаточной функции

 

 

· Импульсная характеристика системы:

· Переходный процесс системы:   

 

Выводы по результатам исследований

...

 

Контрольные вопросы к защите

1. Какая система называется

а) асимптотически устойчивой

б) неустойчивой

в) гранично устойчивой

2.Как построить характеристическое уравнение?

3. Какие критерии устойчивости Вы знаете?

4. Что такое нули и полюса передаточной функции?

5. Об устойчивости САУ судят по нулям или полюсам?

 

 

Приложение. Решение квадратных и кубически уравнений

Квадратное уравнение - это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

−b ± √b2− 4ac

2a

x_1;2=

Выражение под знаком корня называется дискриминант.

Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень, два других либо также действительные, либо являются комплексно сопряженной парой.

Если коэффициенты кубического уравнения Ax³+Bx²+Cx+D=0 являются целыми числами, то уравнение может иметь рациональные корни.

Оно может иметь целые корни, которые являются делителями свободного члена. Так что выписываем все делители и начинаем их подставлять в полученное уравнение до получения тождественного равенства. Тот делитель y₁, при котором тождество получено, является корнем уравнения. Следовательно, корнем исходного уравнения является x₁=y₁/A.

Далее делим многочлен Ax³+Bx²+Cx+D на x-x₁ и находим корни полученного квадратного трехчлена.

 

Оформление отчета

Содержание отчёта представлено в приложении. Оформляйте отчет по мере выполнения лабораторной работы. Отчет обязательно должен содержать:

- номер варианта;

- описание САУ в виде дифференциального уравнения;

- результаты выполнения всех пунктов инструкции, которые выделены серым фоном (см. ниже): результаты вычислений, графики, ответы на вопросы.

При составлении отчета рекомендуется копировать необходимую информацию через буфер обмена из рабочего окна среды Scilab. Для этих данных используйте шрифт Courier New, в котором ширина всех символов одинакова.

Все формулы, передаточные функции и матрицы, набираются в редакторе формул текстового процессора.

Передаточные функции в отчёте должны быть записаны в стандартной форме – по убывающим степеням переменной (начиная со старшей степени).

Все числовые значения округляются до трёх знаков в дробной части (например, вместо 0,123987678 пишем 0,124). Если значение меньше 1, нужно оставить 3 значащие цифры, например, 0,000123.

 

Основные понятия устойчивости движения непрерывных линейных САУ

САУ описывается системой дифференциальных уравнений. Если в системе имеются только один вход и один выход, то систему можно преобразовать к одному дифференциальному уравнению того же порядка, что и вся система. Пусть это дифференциальное уравнение записано в операторном виде (1)

                          ,                           (1)

где  – выходной сигнал;

   – входной сигнал;

 – полиномы (многочлены) оператора дифференцирования .

Пусть

                       (2)

Уравнение (1) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Его решение состоит из двух слагаемых: частного решения () и общего решения соответствующего однородного уравнения (), т.е.

                             .

В ТАУ общее решение называется собственным решением (движением), частное решение называется вынужденным решением (движением).

                             .                              (3)

Вынужденное решение удовлетворяет уравнению

                          .                           (4)

Вычитая (4) из (1), найдём уравнение собственных движений

                            .                              (5)

Уравнение (5) называется однородным уравнением для уравнения (1). Устойчивость или неустойчивость линейных САУ определяется только уравнением (5).

Будем различать 3 категории устойчивости:

1 – асимптотическая устойчивость,

2 – неустойчивость,

3 – граничная устойчивость.

Система называется асимптотически устойчивой, если при всех начальных условиях

               или .                 (6)

Система называется неустойчивой, если имеется хотя бы одно сочетание начальных условий, при котором

                            .                             (7)

Система называется находящейся на границе устойчивости (гранично устойчивой), если имеется хотя бы одно сочетание начальных условий, при котором  не стремится ни к нулю, ни к бесконечности, а при других начальных условиях выполняется условие (6).

 

Рисунок 1 – Асиптотическая устойчивость

 

 

Рисунок 2 – Неустойчивость

 

 

 

Рисунок 3 – Граничная устойчивость

Корневые критерии устойчивости

Как следует из рисунков 1 - 3,  не равен тождественно нулю, тогда из (5) следует

                              .                               (8)

Уравнение (8) называется характеристическим уравнением, соответствующим уравнениям (1) и (5). Пусть это уравнение будет n -го порядка, тогда оно имеет n корней . Если коэффициенты  – действительные, то корни уравнения (1) могут быть действительными и комплексными (комплексно-сопряженными).

           .

Корни могут быть простыми (нет им равных) и кратными (равными). Кратность – это количество равных корней. Если корни простые, то решение уравнения (5) можно представить в виде

                ,                 (9)

где  – постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий.

В выражении (9) каждое слагаемое называется модой. Рассмотрим две моды, соответствующие паре комплексно-сопряженных корней.

                 .                (10)

С помощью формулы Эйлера уравнение (10) можно представить в виде

               ,              (11)

где  – новые постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий.

На рис. 4 представлены различные виды переходных процессов моды в зависимости от вида корней, соответствующих данной моде. На основании рис. 4 можно констатировать следующее.

Для того чтобы система была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения были отрицательными.

 

 

 

Рисунок 4

 

Для того чтобы система была неустойчивой, достаточно, чтобы хотя бы у одного корня действительная часть была положительной.

Для того чтобы система была гранично устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы у части корней действительные части были равны нулю, причём среди этих корней не должно быть кратных, а у остальных корней действительные части должны быть меньше нуля.

При наличии кратных корней (например, ) вместо выражения (9) будет выражение (5).

      .     (12)

Выражение (5) позволяет заключить, что при мнимом корне  нулевое решение будет неустойчивым за счет выражения в скобках.

Сформулируем приведенные критерии в геометрическом виде. На рис. 5 изображена плоскость корней, где крестиками обозначено расположение корней. С помощью этого рисунка приведенные критерии можно перефразировать следующим образом.

 

 

Рисунок 5 – Расположение корней в случае асимптотической устойчивости

 

Для того чтобы система была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости.

Для того чтобы система была неустойчивой, достаточно, чтобы хотя бы один корень находился в правой полуплоскости.

Для того чтобы система была гранично устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы часть корней находилась на мнимой оси, причём среди этих корней не должно быть совпадающих, а остальные корни должны лежать в левой полуплоскости.