Одномерная цепочка с одним атомом в ячейке

Рассмотрим одномерную периодическую цепочку атомов – одномерный кристалл с одним атомом в элементарной ячейке. Пусть период этой цепочки равен a. Тогда в состоянии равновесия координата n -го атома цепочки x_n равна na.

 

Рис. 1.1. Одномерная цепочка с одним атомом в элементарной ячейке.

 

Обозначим через u_n смещение n -го атома из положения равновесия. Будем считать, что атомы взаимодействуют только с ближайшими соседями. Сила, с которой (n +1)–й атом действует на n -й зависит от разности смещений этих двух атомов u_{n +1}– u_n. При небольших смещениях эту силу можно считать пропорциональной разности смещений: F_{n , n +1} = γ (u_{n +1}– u_n), где γ – коэффициент  пропорциональности. Удобно представить, что атомы связаны друг с другом пружинками с жесткостью γ.

На рис.1.1 пружинка между n -м и n +1 -м атомами растянута, так что она действует на n -й атом в положительном направлении. Растянутая пружинка между n –1-м и n -м атомом действует на n -й атом в отрицательном направлении: F_{n , n –1} = – γ (x_n – x_{n –1}).

Запишем закон Ньютона для n -го атома цепочки:

 

               (1).

 

Первое слагаемое в правой части – сила, действующая на n -й атом со стороны n +1-го атома, второе – сила, действующая со стороны n –1-го атома.

После упрощения получим:

 

                              (2).

 

Система таких уравнений, записанных для каждого атома, полностью описывает колебания цепочки.

Если рассматривать только длинноволновые колебания, т. е. колебания с длиной волны много большей периода цепочки a, то можно заменить разность u_{n +1}– u_n на (∂ u_n /∂ x) a, а величину, стоящую в правой части (2) – на γ a ²(∂² u /∂ x ²). В результате получим волновое уравнение:

 

                                   (3).

 

Решением которого являются волны u = A exp(ikx – iω t) с линейным законом дисперсии ω = | k | (звуковые волны). Здесь  - скорость звука: . Но мы решим задачу точно и рассмотрим колебания со всеми возможными длинами волн.

Будем искать колебания, зависящие от времени по гармоническому закону: u_n = C_ne ^{– iω t}                                                        (5).

Здесь ω – частота колебаний, одна и та же для всех атомов (такие колебания называются гармоническими). C_n – комплексная амплитуда колебаний n -го атома. Напомним, что колебания описывает вещественная часть уравнения (5), но технически удобно пользоваться комплексным решением.

Такая подстановка – стандартный метод решения линейных систем уравнений с постоянными коэффициентами. В силу линейности уравнений, колебание с произвольной временной зависимостью может быть разложено в интеграл (ряд) Фурье по гармоническим колебаниям.

Из уравнения (2) для амплитуды C_n получаем уравнение:

 

                        (6).

 

Эти уравнения образуют бесконечную систему линейных уравнений. Если применить к цепочке граничные условия Борна-Кармана, то система будет конечной. (Заметим, что условия Борна-Кармана в одномерном случае эквивалентны тому, что цепочка достаточно большой длины L замкнута в кольцо). Тогда, приравняв определитель нулю, можно найти частоты колебаний, а затем, решив систему уравнений для каждой из найденных частот – соответствующие амплитуды.

Но мы поступим иначе. Будем искать решение в виде плоской волны:

 

                                             (7).

 

Подставив это выражение в (6), получим:

 

                      (8)

 

Разделим последнее уравнение на exp(ikx_n) и воспользуемся тем, что x_{n +1} = x_n + a, x_{n –1} = x_n – a: – M ω ² = γ (e^ika + e ^{– ika} –2)                 (9).

 

Таким образом, подстановка в виде плоской волны оказалась верной: мы избавились от номера атома n и получили уравнение, связывающее ω и k, то есть уравнение, определяющее закон дисперсии волн.

 

Поскольку:  (10), то   (11).

 

Мы получаем закон дисперсии для упругих колебаний одномерной цепочки:                                   (12).

 

Итак, мы пришли к выводу, что смещения атомов при колебании одномерной цепочки описываются плоской гармонической волной:

 

               (13).

 

Точнее, колебания представляют собой произвольную сумму таких волн. Здесь φ – фаза комплексной амплитуды A: A = | A |exp(iφ). Смещение – вещественная величина, которая описывается вещественной частью комплексной плоской гармонической волны, что явно записано в (13). В дальнейшем, при описании вещественных колебаний комплексной плоской волной, будем для краткости опускать обозначение вещественной части.

Волновой вектор k в плоской волне (13) может, вообще говоря, быть любым. Но вследствие дискретности цепочки (x_n может принимать лишь дискретный набор значений na) плоские волны, волновые вектора которых отличаются друг от друга на произвольный вектор обратной решетки 2 π l / a, описывают одно и то же колебание. (Здесь l — любое целое число).

Действительно, так как x_n = na, т:

 

                    (14).

 

Поэтому достаточно рассматривать волновые вектора, лежащие в первой зоне Бриллюэна – π / a < k < π / a. Крайние значения волнового вектора ± π / a соответствуют одному и тому же колебанию с минимальной длиной волны λ = 2 π / k = 2 a. При такой длине волны соседние атомы цепочки движутся в противофазе. Интуитивно ясно, что короче длина волны быть уже не может.

График зависимости ω (k) для одномерной цепочки с одним атомом в примитивной ячейке изображен на рис. 1.2.

 

Рис. 1.2. Закон дисперсии колебаний цепочки с одним атомом в примитивной ячейке.

 

Обсудим теперь особенности закона дисперсии (12).

Важным его свойством является то, что частота волн, распространяющихся по цепочке, ограничена частотой . Чтобы оценить эту частоту, надо знать порядок величины постоянной γ.

Посмотрим на размерность γ. Сила F равна произведению γ на смещение u, поэтому:

 

                    (15).

 

Характерная длина, межатомное расстояние a, имеет порядок 1A = 10^–8 cм. Характерная энергия – энергия, которую приобретает атом при смещении на расстояние порядка a. Ее можно оценить как энергию химической связи, которая по порядку величины равна 10 эВ. Таким образом:

 

                 (16).

 

В качестве массы для оценки можно подставить величину 10 M_p, где M_p ≈ 1,67· 10^–27 кг – масса протона.

Для ω_max получаем:

 

  (17).

 

Найдем длину волны электромагнитного излучения такой частоты:

 

             (18).

 

Электромагнитные волны с такой длиной принадлежат инфракрасному диапазону.

При ka /2<<1, когда длина волны λ = 2 π / k много больше a, sin(ka /2)≈ ka /2, поэтому:

 

     (19).

 

Таким образом, длинноволновые колебания – это звуковые волны с линейным законом дисперсии ω = | k |. Выше мы уже получали такой результат, заменив точное уравнение цепочки (2) волновым уравнением (3). Это и неудивительно: длинные волны ''не чувствуют'' дискретной структуры цепочки, цепочка ведет себя как непрерывная упругая среда. По этой причине скорость звука  зависит только от макроскопических характеристик цепочки: линейной плотности, M / a, и упругой постоянной цепочки γ a – коэффициента пропорциональности между относительным удлинением цепочки и возникающей при этом силой натяжения:

 

                              (20).

 

Рассмотренные нами колебания одномерной цепочки называют акустическими, поскольку при k → 0 (λ →∞) они соответствуют звуковым волнам.

Ниже мы увидим, что в цепочке с двумя (и более) атомами в элементарной ячейке наряду с акустическими могут распространяться волны другого типа.

При квантовомеханическом описании каждому колебанию соответствует квазичастица с импульсом p = ħ k и энергией . Квазичастицы, соответствующие упругим колебаниям кристаллической решетки называются фононами. Фононы, соответствующие акустическим колебаниям, также называются акустическими.

Оценим максимальную энергию акустического фонона в одномерной цепочке:

 

                  (21)

 

Экспериментальные значения ħ ω_max в реальных кристаллах составляют 30 ÷ 40 мэВ.

Эта величина намного меньше большинства характерных электронных энергий (~ 1 эВ) и близка к тепловой энергии при комнатной температуре (kT ≈ 0.025эВ, здесь k – постоянная Больцмана).