Нестационарные процессы над горизонтально однородной подстилающей поверхностью в пограничном слое.

Нестационарные процессы над горизонтально однородной подстилающей поверхностью в пограничном слое.

Общая постановка задачи.

   

 

  - унифицированное обозначение любой субстанции

Конкретно для составляющих скорости ветра запишем:

 

Согласно уравнению несжимаемости имеем:

 

 

                    w=0

 

В итоге имеем:

 

        i=(1,3)

 

 

Постановка граничных условий.

 

     

          - условия прилипания ветра  

_{- относительная влажность у поверхности}

 

 

 - условие отсутствия

 - условие склейки

 

Для получения еще одного условия на подстилающей поверхности рассмотрим ее тепловой баланс.

 

 

LE₀ – турбулентный поток тепла, связанный с испарением

L – удельная теплота парообразования

L=2500*10³ Дж/кг

P₀ – турбулентный поток тепла

В₀ – поток тепла в почву

(1-А)  – поток коротковолновой радиации от Солнца

J₀ – поток длинноволнового излучения Земли

J_A – поток излучения атмосферы

E_эф – поток эффективного излучения Земли

E_эф=J_A+J₀

R₀ – радиационный баланс подстилающей поверхности

R₀=(1-А) +Е_эф

R₀(t)=P₀+LE₀+B₀

 

Для почвы ось z заменим на ось ж, направленную противоположно оси z (в глубину).

 

 – объемная теплоемкость почвы

 

Модель суточного хода температуры воздуха в пограничном слое атмосферы. Решение задачи. (вопрос 31)        

 

а)Модель суточного хода температуры воздуха в пограничном слое атмосферы

 

       Причиной суточного хода температуры в нижней части атмосферы является изменение в течении суток прихода солнечной радиации к подстилающей поверхности земли и, соответственно, суточный ход радиационного баланса подстилающей поверхности. В ночные часы поток прямой солнечной радиации равен нулю, в связи с этим приходная часть радиационного баланса практически отсутствует, и он отрицателен. Таким образом, ночью подстилающая поверхность остывает, а днем прогревается. Вслед за ней с некоторым инерционным запаздыванием должен остывать и прогреваться нижний слой атмосферы. Особенности суточного хода температуры воздуха определяются особенностями теплообмена между подстилающей поверхностью и атмосферой. Максимум радиационного баланса приходится на местный полдень, а минимум-на время перед восходом солнца. После восхода солнца радиационный баланс переходит через ноль (становится положительным), и температура подстилающей поверхности начинает расти. Как только она превышает температуру воздуха, возникает поток тепла от подстилающей поверхности в атмосферу, и происходит распространение тепла на высоты. Основным механизмом переноса тепла в атмосфере является турбулентный обмен (в почве-молекулярный). Суточный ход температуры вызывает суточный ход стратификации, который, в свою очередь, вызывает суточные колебания интенсивности турбулентного обмена. Обратное влияние суточного хода интенсивности турбулентного обмена на суточный ход температуры воздуха менее выражено, поэтому в практических задачах о суточном ходе температуры, как правило, используется так называемое среднесуточное эффективное значение коэффициента турбулентности. Так как тепло в нижней части атмосферы передается по вертикале главным образом турбулентными потоками, суточные колебания температуры воздуха должны распространяться на весь пограничный слой. Тем не менее вводится свое определение пограничного слоя для задачи о суточном ходе температуры. Теловым пограничным слоем называют нижнюю часть атмосферы, в которой хорошо выражен суточный ход температуры воздуха, обусловленный турбулентным обменом. В дальнейшем будет дана количественная оценка высоты теплового пограничного слоя. Важно отметить, что в процессе теплообмена с атмосферой участвует, конечно, не только подстилающая поверхность, но и так называемый деятельный слой почвы. Математически задача формулируется следующим образом:

 

Граничные условия:

     

                        

 

               

 

    

 

Задачу решают в отклонениях от среднесуточных значений.

 

 

 

-искомые функции

-средние суточные значения

-отклонения от средних суточных

Распределения средних суточных температур по высоте могут быть получены из решения стационарной задачи. Поэтому поставленную задачу целесообразно решать, отыскивая только отклонения температуры от среднего суточного значения.

 

          (с учетом , )

 

Перепишем граничные условия для отклонений.

 

  

 

 

б)Решение модельной задачи суточного хода температуры в пограничном слое атмосферы с постоянными коэффициентами обмена.

 

 

   (1)                                  

Для почвы:

Для атмосферы:

 

Граничные условия:   

                                     

          

Колебания радиационного баланса будем аппроксимировать простой косинусоидой.

 

-среднесуточное значение радиационного баланса

-амплитуда суточных колебаний радиационного баланса

 

                       

 

 Ход решения:

1) Записать общее решение волнового вида

 

            

2) Подставить это решение в уравнение теплопроводности и определить коэффициенты a и b.

                              

3)Из граничных условий определить произвольные постоянные C и B. Перейти от показательной формы к тригонометрической (по формуле Эйлера).Решение для температуры воздуха будет иметь вид:

 

-время, отсчитанное от полудня

-амплитуда колебаний

-фаза колебаний

                    

Полное выполнение всех шагов (не обязательно):

Запишем решение, имеющее волновой вид:

      (2)

-постоянные интегрирования          

Подставим (2) в (1) и найдем коэффициенты б и в.

 

 

                                         

 

 

 

 

 

 

Знаки в показателях выберем таким образом, чтобы удовлетворилось условие:

 

 

 

 

 

Так как , то  ,  

Определим константы B и C на основании граничных условий.

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

Введем обозначения:

 

 

 

 

          

 

 

 

 

 

 

 

  Анализ решения задачи о суточном ходе температуры воздуха в пограничном слое атмосферы. (вопрос 32)

 

        (1)

 

 

          

 

А-амплитуда колебаний (максимальное отклонение от среднесуточного значения)

Амплитуда суточных колебаний температуры подстилающей поверхности прямо пропорционально

амплитуде радиационного баланса и тем меньше, чем больше коэффициент турбулентности и теплопроводность почвы. При сильно развитой турбулентности тепло быстро распространяется по вертикали, благодаря чему амплитуда суточных колебаний температуры поверхности оказывается сравнительно малой. А при фиксированных колебаниях радиационного баланса и слабой турбулентности амплитуда колебаний температуры поверхности сравнительно велика, при этом толщина слоя, в котором имеют место быть суточные колебания, оказывается небольшой. Существенное влияние на суточный ход температуры поверхности оказывают теплофизические свойства почвы. Если почва обладает хорошей теплопроводностью, то днем значительная доля тепла уходит в нижележащие слои. Соответственно доля тепла, идущая на теплообмен воздуха,  уменьшается, и максимум температуры в ее суточном ходе оказывается достаточно низким. Ночью потом тепла в почве направлен к поверхностному слою и частично компенсирует потери тепла поверхностью на излучение, что несколько повышает минимальную температуру. Суточный ход температуры над хорошо проводящей почвой оказывается более сглаженным, чем над почвой с малой теплопроводностью. С удалением от поверхности согласно (1) суточные колебания затухают.

Затухание суточных колебаний позволяет оценить высоту теплового пограничного слоя. Если определить высоту пограничного слоя как уровень, до которого распространяется влияние подстилающей поверхности, то на этом уровне не будут отмечаться суточные колебания температуры. Практически можно принять, в зависимости от задачи, что колебания отсутствуют, если их амплитуда уменьшилась по сравнению с амплитудой у земли в 10-50 раз.  

 

 

         

                      

                                                                                                                                                                                                                                                       

                             n=(10,50)

В рассмотренной задаче не учитывалось влияние притоков тепла, поступающих в атмосферу при испарении с поверхности. Испарение приводит к уменьшению амплитуды суточных колебаний. Если учесть влияние испарения, то выражение для амплитуды на подстилающей поверхности примет вид:

 

Нетрудно увидеть, что с высотой не только изменяется амплитуда колебаний, но и происходит сдвиг фазы. Оценим запаздывание наступления заданной фазы на высоте  относительно ее наступления на высоте , исходя из условия, что для фиксированной фазы колебаний синус величина постоянная.

 

 

   

 

                         

Нетрудно также заметить, что на подстилающей поверхности наступление максимума температуры запаздывает относительно наступления максимума радиационного баланса на р/4.

 

 

Энергетика атмосферы.

  Основные формы энергии (Вопрос 47)

 

1) Кинетическая энергия.

 

 - кинетическая энергия мгновенных скоростей.

 

=

- кинетическая энергия турбулентных пульсаций (энергия турбулентности)

 

 - кинетическая энергия осредненного движения (среднего потока)

 

2) Потенциальная энергия.

 

 

3) Внутренняя энергия

Теорема Дайнса

Она дает связь между интегральной (суммарной) по высоте потенциальной энергией воздушного столба единичного сечения и его внутренней энергии.

 

 

 

                     

 

 

  Уравнения ба­ланса кинетической энергии среднего движения и энергии турбулентности. (вопрос 8)

 

Нестационарные процессы над горизонтально однородной подстилающей поверхностью в пограничном слое.

Общая постановка задачи.

   

 

  - унифицированное обозначение любой субстанции

Конкретно для составляющих скорости ветра запишем:

 

Согласно уравнению несжимаемости имеем:

 

 

                    w=0

 

В итоге имеем:

 

        i=(1,3)

 

 

Постановка граничных условий.

 

     

          - условия прилипания ветра  

_{- относительная влажность у поверхности}

 

 

 - условие отсутствия

 - условие склейки

 

Для получения еще одного условия на подстилающей поверхности рассмотрим ее тепловой баланс.

 

 

LE₀ – турбулентный поток тепла, связанный с испарением

L – удельная теплота парообразования

L=2500*10³ Дж/кг

P₀ – турбулентный поток тепла

В₀ – поток тепла в почву

(1-А)  – поток коротковолновой радиации от Солнца

J₀ – поток длинноволнового излучения Земли

J_A – поток излучения атмосферы

E_эф – поток эффективного излучения Земли

E_эф=J_A+J₀

R₀ – радиационный баланс подстилающей поверхности

R₀=(1-А) +Е_эф

R₀(t)=P₀+LE₀+B₀

 

Для почвы ось z заменим на ось ж, направленную противоположно оси z (в глубину).

 

 – объемная теплоемкость почвы

 

Модель суточного хода температуры воздуха в пограничном слое атмосферы. Решение задачи. (вопрос 31)        

 

а)Модель суточного хода температуры воздуха в пограничном слое атмосферы

 

       Причиной суточного хода температуры в нижней части атмосферы является изменение в течении суток прихода солнечной радиации к подстилающей поверхности земли и, соответственно, суточный ход радиационного баланса подстилающей поверхности. В ночные часы поток прямой солнечной радиации равен нулю, в связи с этим приходная часть радиационного баланса практически отсутствует, и он отрицателен. Таким образом, ночью подстилающая поверхность остывает, а днем прогревается. Вслед за ней с некоторым инерционным запаздыванием должен остывать и прогреваться нижний слой атмосферы. Особенности суточного хода температуры воздуха определяются особенностями теплообмена между подстилающей поверхностью и атмосферой. Максимум радиационного баланса приходится на местный полдень, а минимум-на время перед восходом солнца. После восхода солнца радиационный баланс переходит через ноль (становится положительным), и температура подстилающей поверхности начинает расти. Как только она превышает температуру воздуха, возникает поток тепла от подстилающей поверхности в атмосферу, и происходит распространение тепла на высоты. Основным механизмом переноса тепла в атмосфере является турбулентный обмен (в почве-молекулярный). Суточный ход температуры вызывает суточный ход стратификации, который, в свою очередь, вызывает суточные колебания интенсивности турбулентного обмена. Обратное влияние суточного хода интенсивности турбулентного обмена на суточный ход температуры воздуха менее выражено, поэтому в практических задачах о суточном ходе температуры, как правило, используется так называемое среднесуточное эффективное значение коэффициента турбулентности. Так как тепло в нижней части атмосферы передается по вертикале главным образом турбулентными потоками, суточные колебания температуры воздуха должны распространяться на весь пограничный слой. Тем не менее вводится свое определение пограничного слоя для задачи о суточном ходе температуры. Теловым пограничным слоем называют нижнюю часть атмосферы, в которой хорошо выражен суточный ход температуры воздуха, обусловленный турбулентным обменом. В дальнейшем будет дана количественная оценка высоты теплового пограничного слоя. Важно отметить, что в процессе теплообмена с атмосферой участвует, конечно, не только подстилающая поверхность, но и так называемый деятельный слой почвы. Математически задача формулируется следующим образом:

 

Граничные условия:

     

                        

 

               

 

    

 

Задачу решают в отклонениях от среднесуточных значений.

 

 

 

-искомые функции

-средние суточные значения

-отклонения от средних суточных

Распределения средних суточных температур по высоте могут быть получены из решения стационарной задачи. Поэтому поставленную задачу целесообразно решать, отыскивая только отклонения температуры от среднего суточного значения.

 

          (с учетом , )

 

Перепишем граничные условия для отклонений.

 

  

 

 

б)Решение модельной задачи суточного хода температуры в пограничном слое атмосферы с постоянными коэффициентами обмена.

 

 

   (1)                                  

Для почвы:

Для атмосферы:

 

Граничные условия:   

                                     

          

Колебания радиационного баланса будем аппроксимировать простой косинусоидой.

 

-среднесуточное значение радиационного баланса

-амплитуда суточных колебаний радиационного баланса

 

                       

 

 Ход решения:

1) Записать общее решение волнового вида

 

            

2) Подставить это решение в уравнение теплопроводности и определить коэффициенты a и b.

                              

3)Из граничных условий определить произвольные постоянные C и B. Перейти от показательной формы к тригонометрической (по формуле Эйлера).Решение для температуры воздуха будет иметь вид:

 

-время, отсчитанное от полудня

-амплитуда колебаний

-фаза колебаний

                    

Полное выполнение всех шагов (не обязательно):

Запишем решение, имеющее волновой вид:

      (2)

-постоянные интегрирования          

Подставим (2) в (1) и найдем коэффициенты б и в.

 

 

                                         

 

 

 

 

 

 

Знаки в показателях выберем таким образом, чтобы удовлетворилось условие:

 

 

 

 

 

Так как , то  ,  

Определим константы B и C на основании граничных условий.

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

Введем обозначения:

 

 

 

 

          

 

 

 

 

 

 

 

  Анализ решения задачи о суточном ходе температуры воздуха в пограничном слое атмосферы. (вопрос 32)

 

        (1)

 

 

          

 

А-амплитуда колебаний (максимальное отклонение от среднесуточного значения)

Амплитуда суточных колебаний температуры подстилающей поверхности прямо пропорционально

амплитуде радиационного баланса и тем меньше, чем больше коэффициент турбулентности и теплопроводность почвы. При сильно развитой турбулентности тепло быстро распространяется по вертикали, благодаря чему амплитуда суточных колебаний температуры поверхности оказывается сравнительно малой. А при фиксированных колебаниях радиационного баланса и слабой турбулентности амплитуда колебаний температуры поверхности сравнительно велика, при этом толщина слоя, в котором имеют место быть суточные колебания, оказывается небольшой. Существенное влияние на суточный ход температуры поверхности оказывают теплофизические свойства почвы. Если почва обладает хорошей теплопроводностью, то днем значительная доля тепла уходит в нижележащие слои. Соответственно доля тепла, идущая на теплообмен воздуха,  уменьшается, и максимум температуры в ее суточном ходе оказывается достаточно низким. Ночью потом тепла в почве направлен к поверхностному слою и частично компенсирует потери тепла поверхностью на излучение, что несколько повышает минимальную температуру. Суточный ход температуры над хорошо проводящей почвой оказывается более сглаженным, чем над почвой с малой теплопроводностью. С удалением от поверхности согласно (1) суточные колебания затухают.

Затухание суточных колебаний позволяет оценить высоту теплового пограничного слоя. Если определить высоту пограничного слоя как уровень, до которого распространяется влияние подстилающей поверхности, то на этом уровне не будут отмечаться суточные колебания температуры. Практически можно принять, в зависимости от задачи, что колебания отсутствуют, если их амплитуда уменьшилась по сравнению с амплитудой у земли в 10-50 раз.  

 

 

         

                      

                                                                                                                                                                                                                                                       

                             n=(10,50)

В рассмотренной задаче не учитывалось влияние притоков тепла, поступающих в атмосферу при испарении с поверхности. Испарение приводит к уменьшению амплитуды суточных колебаний. Если учесть влияние испарения, то выражение для амплитуды на подстилающей поверхности примет вид:

 

Нетрудно увидеть, что с высотой не только изменяется амплитуда колебаний, но и происходит сдвиг фазы. Оценим запаздывание наступления заданной фазы на высоте  относительно ее наступления на высоте