Множества и основные операции над ними. Диаграммы Венна.

• Объединение. Объединением множеств A и B (обозначается A È B)называется множество всех элементов, принадлежащих либо A, либо B, либо одновременно и A и B: A È B={x: x Î A или x Î B}.

Операции:

· Транспонирование (Результат транспонирования матрицы размера m´n – матрица размера n´m, столбцы которой являются строками исходной матрицы и записаны в том же порядке.)

· Умножение матрицы на число (Результат умножения матрицы размера mn на число  – матрица того же размера, все элементы которой равны соответствующим элементам исходной матрицы, умноженным на это число.)

· Сложение и вычитание матриц (возможно при их одинаковой размерности)

· Умножение матриц (Возможно, когда число столбцов 1 матрицы = число строк 2 матрицы. Каждый элемент новой матрицы будет равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того слолбца матриц Б)

· Возведение в степень. (Целой положительной степенью А^mквадратной матрицы А является произведение m матриц, равных А)

Свойства операций:

1. A + B= B + A

2. (A + B)+ C=A +(B + C)

3. l(A + B)= l A +l B

4. A (B + C) =AB + AC (A + B) C=AC + BC

5. l(AB) = (l A) B = A (l B)

6. A (B C) = (AB) C

7. В общем случае AB¹BA

Виды матриц. Геометрическая интерпретация векторов.

Виды:

· Матрица (вектор)-строка – состоящая из одной строки

· Матрица (вектор) – столбец – состоящая из одного столбца

· Квадратная n-го порядка – чисто строк=числу столбцов

· Диагональная – все недиагональные элементы матрицы = 0

· Единичная – если у диагональной все диагональные элементы = 1

· Нулевая – все элементы равны 0

· Верхней (нижней) треугольной матрицей называется квадратная матрица произвольного порядка, все элементы которой, стоящие под (над) главной диагональю, равны нулю.

Умножение матриц.

Результат умножения матрицы A размера m´k на матрицу B размера k´n – матрица C размера m´n, каждый элемент которой c_ij равен сумме всех попарных произведений элементов, стоящих на одинаковых местах в i-ой строке матрицы A и j-ом столбце матрицы B. Возможно, когда число столбцов 1 матрицы = число строк 2 матрицы.

C_mn =A_mkB_kn