Из обратной многократной геодезической засечки

 

Рис. 3. Схема обратной многократной геодезической засечки

Для определения положения пункта Р (рис. 3) обратной геодезической засечкой необходимо на местности иметь три твёрдых (опорных) пункта, а на пункте Р выполнить измерение углов от какого-либо направления, принятого за начальное, до каждого из направлений, например: твёрдые пункты - Т₁, Т₂, Т₃; углы - β₁ и β₂. С целью контроля и повышения точности используют большее число пунктов Т₄,….,Т_n+1 и выполняют измерения большего числа углов β₃, β₄,..., β_n, в этом случае обратная засечка называется " многократной ".

 

 

- 11 -

На определяемом пункте Р можно вместо углов выполнить измерение направлений на твёрдые (опорные) пункты, в этом случае положение точки Р будет определено несколько точнее, чем при измерении отдельных углов.

Измерение углов и направлений на определяемом пункте Р выполняют точными оптическими теодолитами Т2, 2Т2 (или им равноточными) методами и числом приёмов, соответствующими данному классу точности геодезической сети.

 

Пример № 3

Определить координаты пункта Р, полученного из обратной многократной засечки (рис. 3), и произвести оценку точности.

Координаты исходных пунктов и измеренные углы для вариантов приведены в табл. 4.

Таблица 4

Исходные данные и измеренные величины

№ варианта	Исходные пункты	Координаты, м	Измеренные направления
X	Y
	Т1	13 134,209	2 736,034	0°00'00,0''
	Т2	12 243,222	5 137,586	54 47 56,7
	Т3	9 738,903	7 146,400	144 36 17.3
	Т4	8 962,278	3 994,663	235 42 00.1
	Т5	11 206,911	3 032,828	327 26 48.2
	Т1	13 144,325	2 747,180	0°00'00,0''
	Т2	12 253,338	5 148,732	54 47 55.9
	Т3	9 749,019	7 157,546	144 36 25.1
	Т4	8 979,394	4 005,809	235 42 09.1
	Т5	11 217,027	3 043,974	327 26 46.2
	Т1	13 154,441	2 758,326	0°00'00,0''
	Т2	12 263,454	5 159,878	54 47 53.8
	Т3	9 759,135	7 168,692	144 36 31,8
	Т4	8 982,510	4 016,955	235 42 19,0
	Т5	11 227,143	3 055,120	327 26 45,2
	Т1	13 164,557	2 769,472	0°00'00,0''
	Т2	12 273,570	5 171,024	54 47 50,5
	Т3	9 769,251	7 179,838	144 36 37,6
	Т4	8 992,626	4 028,101	235 42 29,5
	Т5	11 237,259	3 066,266	327 26 45,2

 

 

- 12 -

 

(продолжение таблицы 4)

Исходные данные и измеренные величины

№ варианта	Исходные пункты	Координаты, м	Измеренные направления
X	Y
	Т1	13 174,673	2 780,618	0°00'00,0''
	Т2	12 283,686	5 182,170	54 47 46,2
	Т3	9 779,367	7 190,984	144 36 41,7
	Т4	9 002,742	4 039,247	235 42 39,9
	Т5	11 247,375	3 077,412	327 26 46.2
	Т1	13 184,789	2 791,764	0°00'00,0''
	Т2	12 293,802	5 193,316	54 47 41,2
	Т3	9 789,483	7 202,130	144 36 44,3
	Т4	9 012,858	4 050,393	235 42 50,0
	Т5	11 257,491	3 088,558	327 26 48.2
	Т1	13 194,905	2 802,910	0°00'00,0''
	Т2	12 303,918	5 204,462	54 47 35,4
	Т3	9 799,599	7 213,276	144 36 45,0
	Т4	9 022,974	4 061,539	235 42 59,1
	Т5	11 267,607	3 099,704	327 26 48.2
	Т1	13 205,021	2 814,056	0°00'00,0''
	Т2	12 314,034	5 215,608	54 47 35,4
	Т3	9 809,715	7 224,422	144 36 43,9
	Т4	9 033,090	4 072,685	235 43 06,9
	Т5	11 277,723	3 110,850	327 26 54,7
	Т1	13 215,137	2 825,202	0°00'00,0''
	Т2	12 324,150	5 226,754	54 47 23,1
	Т3	9 819,831	7 235,568	144 36 41,1
	Т4	9 043,206	4 083,831	235 43 13,2
	Т5	11 287,839	3 121,996	327 26 58,9
	Т1	13 225,253	2 836,348	0°00'00,0''
	Т2	12 334,266	5 273,900	54 47 17,1
	Т3	9 829,947	7 246,714	144 36 36,6
	Т4	9 053,322	4 094,977	235 43 17,6
	Т5	11 297,955	3 133,142	327 27 03,7
	Т1	13 235,369	2 847,494	0°00'00,0''
	Т2	12 344,382	5 249,046	54 47 11,5
	Т3	9 840,063	7 257,860	144 36 30,7
	Т4	9 063,438	4 106,123	235 43 19,8
	Т5	11 308,071	3 144,288	327 27 08,5

 

- 13 -

(продолжение таблицы 4)

Исходные данные и измеренные величины

№ варианта	Исходные пункты	Координаты, м	Измеренные направления
X	Y
	Т1	13 245,485	2 858,640	0°00'00,0''
	Т2	12 354,498	5 260,192	54 47 06,6
	Т3	9 850,179	7 269,006	144 36 23,6
	Т4	9 073,554	4 117,269	235 43 19,9
	Т5	11 318,187	3 155,434	327 27 13,5
	Т1	13 255,601	2 869,786	0°00'00,0''
	Т2	12 364,614	5 271,338	54 47 02,6
	Т3	9 860,295	7 280,152	144 36 15,7
	Т4	9 083,670	4 128,415	235 43 17,8
	Т5	11 328,303	3 166,580	327 27 18,1
	Т1	13 265,717	2 880,932	0°00'00,0''
	Т2	12 374,730	5 282,484	54 46 59,7
	Т3	9 870,411	7 291,298	144 36 07,3
	Т4	9 093,786	4 139,561	235 43 13,6
	Т5	11 338,419	3 177,726	327 27 22,4
	Т1	13 275,833	2 892,078	0°00'00,0''
	Т2	12 384,846	5 293,630	54 46 57,9
	Т3	9 880,527	7 302,444	144 35 58,7
	Т4	9 103,902	4 150,707	235 43 07,5
	Т5	11 348,535	3 188,872	327 27 26,1
	Т1	13 285,949	2 903,224	0°00'00,0''
	Т2	12 394,962	5 304,776	54 46 57,4
	Т3	9 890,643	7 313,590	144 35 50,2
	Т4	9 114,018	4 161,853	235 42 59,7
	Т5	11 358,651	3 200,018	327 27 29,0
	Т1	13 296,065	2 914,370	0°00'00,0''
	Т2	12 405,078	5 315,922	54 46 58,2
	Т3	9 900,759	7 324,736	144 35 42,4
	Т4	9 124,134	4 172,999	235 42 50,6
	Т5	11 368,767	3 211,164	327 27 31,0
	Т1	13 306,181	2 925,516	0°00'00,0''
	Т2	12 415,194	5 327,068	54 47 00,3
	Т3	9 910,875	7 335,882	144 35 35,6
	Т4	9 134,250	4 184,145	235 42 40,8
	Т5	11 378,883	3 222,310	327 27 32,0

 

-14 -

(продолжение таблицы 4)

Исходные данные и измеренные величины

№ варианта	Исходные пункты	Координаты, м	Измеренные направления
X	Y
	Т1	13 316,297	2 936,662	0°00'00,0''
	Т2	12 425,310	5 338,214	54 47 03,6
	Т3	9 920,991	7 347,028	144 35 29,9
	Т4	9 144,366	4 195,291	235 42 30,2
	Т5	11 388,999	3 233,456	327 27 32,0
	Т1	13 326,413	2 947,808	0°00'00,0''
	Т2	12 435,426	5 349,360	54 47 07,9
	Т3	9 931,107	7 358,174	144 35 25,8
	Т4	9 154,482	4 206,437	235 42 19,8
	Т5	11 399,115	3 244,602	327 27 31,0
	Т1	13 336,529	2 958,954	0°00'00,0''
	Т2	12 445,542	5 360,506	54 47 12,9
	Т3	9 941,223	7 369,320	144 35 23,2
	Т4	9 164,598	4 217,583	235 42 09,8
	Т5	11 409,231	3 255,748	327 27 29,1
	Т1	13 346,645	2 970,100	0°00'00,0''
	Т2	12 455,658	5 371,652	54 47 18,7
	Т3	9 951,339	7 380,466	144 35 22,4
	Т4	9 174,714	4 228,729	235 42 00,6
	Т5	11 419,347	3 266,894	327 27 26,2
	Т1	13 356,761	2 981,246	0°00'00,0''
	Т2	12 465,774	5 382,798	54 47 24,8
	Т3	9 961,455	7 391,612	144 35 23,6
	Т4	9 184,830	4 239,875	235 41 52,8
	Т5	11 429,463	3 278,040	327 27 22,5
	Т1	13 366,877	2 992,392	0°00'00,0''
	Т2	12 475,890	5 393,944	54 47 30,9
	Т3	9 971,571	7 402,758	144 35 26,3
	Т4	9 194,946	4 251,021	235 41 46,5
	Т5	11 439,579	3 289,186	327 27 18,3
	Т1	13 376,993	3 003,538	0°00'00,0''
	Т2	12 484,006	5 405,090	54 47 30,8
	Т3	9 981,687	7 413,904	144 35 26,3
	Т4	9 205,062	4 262,167	235 41 42,2
	Т5	11 449,695	3 300,332	327 27 13,5

 

 

- 15 -

 

 

(окончание таблицы 4)

Исходные данные и измеренные величины

№ варианта	Исходные пункты	Координаты, м	Измеренные направления
X	Y
	Т1	13 387,109	3 014,684	0°00'00,0''
	Т2	12 496,122	5 416,236	54 47 42,6
	Т3	9 991,803	7 425,050	144 35 36,7
	Т4	9 215,178	4 273,313	235 41 39,9
	Т5	11 459,811	3 311,478	327 27 08,7
	Т1	13 397,225	3 025,830	0°00'00,0''
	Т2	12 506,238	5 427,382	54 47 47,5
	Т3	10 001,919	7 436,196	144 35 43,8
	Т4	9 225,294	4 284,459	235 41 39,9
	Т5	11 469,927	3 322,624	327 27 03,7
	Т1	13 407,341	3 036,976	0°00'00,0''
	Т2	12 516,354	5 438,528	54 47 51,5
	Т3	10 012,035	7 447,342	144 35 51,7
	Т5	11 480,043	3 333,770	327 26 59,1
	Т1	13 417,457	3 048,122	0°00'00,0''
	Т2	12 526,470	5 449,674	54 47 54,4
	Т3	10 022,151	7 458,488	144 36 00,1
	Т4	9 245,526	4 306,751	235 41 46,2
	Т5	11 490,159	3 344,916	327 26 54,8
	Т1	13 427,573	3 059,268	0°00'00,0''
	Т2	12 536,586	5 460,820	54 47 56,2
	Т3	10 032,267	7 469,634	144 36 08,8
	Т4	9 255,642	4 317,897	235 41 52,2
	Т5	11 500,275	3 356,062	327 26 51,1

 

Согласно теории параметрического способа уравнивания, выразим уравненные значения координат определяемого пункта (P(X,Y) через приближённые значения X₀, Y₀ и поправки к ним δX и δY. Получим выражения

. (38)

 

- 16 -

Приближённые значения координат определяемого пункта P(X₀,Y₀) на плоскости по трём данным точкам обратной засечкой находят из решения задачи Потенота, а поправки к ним δX и δY определяют из уравнивания. О задаче Потенота имеется обширная литература и предложено более ста способов её решения. Рассмотрим один из них.

 

Программа уравнивания

Решение задачи Потенота

 

Рис. 4. Задача Потенота - 1

(по двум смежным углам)

 

- 17 -

 

Рис. 5. Задача Потенота - 2

(по двум несмежным углам)

 

Задача - неопределённая, если определяемая точка находится на окружности, проведённой через три исходных пункта.

 

Рис. 6. Задача Потенота - 3

- 18 -