Комплексные числа и ряды с комплексными членами

1. Комплексные числа. Комплексными числами называются числа вида х+iy, где х и у -действительные числа, i — мнимая единица, определяемая равенством i²=-1. Действительные числа х и у называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z. Для них вводятся обозначения: x=Rеz; y=Imz.

.

Геометрически каждое комплексное число z=x+iy изображается точкой М (х; у) координатной плоскости xOу (рис. 26). В этом случае плоскость хОу называют комплексной числовой плоскостью, или плoскостью комплексного переменного z.

Полярные координаты r и φ точки М, являющейся изображением комплексного числа z, называются модулем и аргументом комплексного числа z; для них вводятся обозначения: r=|z|, φ=Arg z.

Так как каждой точке плоскости соответствует бесчисленное множество значений полярного угла, отличающихся друг от друга на 2kπ (k—целое по­ложительное или отрицательное число), то Агg z—бесконечнозначная функция z.

То из значений полярного угла φ, которое удовлетворяет неравенству –π < φ ≤ π, называют главным значением аргумента z и обозначают аrg z.

В дальнейшем обозначение φ сохраним только для главного значения аргумента z, т.е. положим φ = аrg z, в силу чего для всех остальных значе­ний аргумента z получим равенство

Аrg z = аrg z + 2kπ =φ + 2kπ.

Соотношения между модулем и аргументом комплексного числа z и его действительной и мнимой частями устанавливаются формулами

x = r cos φ; y = r sin φ.

Отсюда

Аргумент z можно определить также по формуле

arg z = аrctg (у/х)+С,

где С = 0 при х > 0, С = +π при х<0, у > 0; С = — π при x < 0, у < 0.

Заменяя x и у в записи комплексного числа z = х+iу их выражениями через r и φ, получаем так называемую тригонометрическую форму комплекс­ного числа:

Комплексные числа z₁ = х₁ + iy₁ и z₂ = x₂ + iy₂ считаются равными тогда и только тогда, когда у них равны по отдельности действительные и мнимые части:

z₁ = z₂, если x₁ = x₂, у₁ = у₂.

Для чисел, заданных в тригонометрической форме, равенство имеет место, если модули этих чисел равны, а аргументы отличаются на целое кратное 2π:

z₁ = z_2, если |z₁| = |z₂| и Аrg z₁ = Аrg z₂+2kπ.

Два комплексных числа z = х+iу и z = х —iу с равными действительными и противоположными мнимыми частями называются сопряженными. Для сопря­женных комплексных чисел выполняются соотно­шения

|z₁| = |z₂|; аrg z₁ = —аrg z₂,

(последнему равенству можно придать вид Аrg z₁+Аrg z₂ = 2kπ).

Действия над комплексными числами определя­ются следующими правилами.

Сложение. Если z₁ = x₁ + iy₁, z₂=x₂+iy₂, то

Сложение комплексных чисел подчиняется переместительному и сочета­тельному законам:

Вычитание. Если z₁ = x₁ +iy₁, z₂ = x₂ + iy₂, то

Для геометрического пояснения сложения и вычитания комплексных чисел полезно изображать их не точками на плоскости z, а векторами: число z = х + iу изображается вектором имеющим начало в точке О («нулевой» точке плоскости — начале координат) и конец в точке М (х; у). Тогда сложение и вычитание комплексных чисел выполняется по правилу сложения и вычита­ния векторов (рис. 27).

Такое геометрическое истолкование операций сложения и вычитания век­торов позволяет легко установить теоремы о модуле суммы и разности двух и сумме нескольких комплексных чисел, выражаемые неравенствами:

| |z₁|-|z₂| | ≤ |z₁±z₂| ≤ |z₁| + |z₂|,

Кроме того, полезно помнить, что модуль разности двух комплексных чисел z₁ и z₂ равен, расстоянию между точками, являющимися их изображениями на плоскости z: | |z₁-z₂|=d(z₁,z₂).

Умножение. Если z₁ = x₁ +iy₁, z₂ = x₂ + iy₂. то

z₁z₂=(x₁x₂-y₁y₂)+i(x₁y₂+x₂y₁).

Таким образом, комплексные числа перемножаются как двучлены, причем i² заменяется на —1.

ЕСЛИ , , то

Таким образом, модуль произведения равен произведению модулей сомноэки* телей, а аргумент произведения — сумме аргументов сомножителей. Умножение комплексных чисел подчиняется переместительнЬму, сочета­тельному и распределительному (по отношению к сложению) законам:

; ; .

Деление. Для нахождения частного двух комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, следует делимое и делитель умножить на число, сопря­женное с делителем:

' Если заданы в тригонометрической форме, то

Таким образом, модуль частного равен частному модулей делимого и де­лителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение в степень. Если z= , то по формуле бинома Ньютона имеем

(п —целое положительное число); в полученном выражении надо заменить сте­пени i их значениями:

i² = -1; i³=i; i⁴ =1; i⁵ =1,…

и, в общем случае,

i^4k = 1; i^4k+1=i; i^4k+2 = -1; i^4k+3 = -i.

Если , то

(здесь п может быть как целым положительным, так и целым отрицательным числом).

В частности,

(формула Муавра).

Извлечение корня. Если п —целое положительное число, , то корень n-й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, которые находятся по формуле

где k=0, 1, 2,..., n—1.

437. Найти (z₁z₂)/z₃, если z₁ = 3 + 5i, z₂ = 2 + 3i, z₃ = 1+2i.
∆

▲

438. Представить в тригонометрической форме комплексное
число z = 2 + 5i.

∆ Находим модуль комплексного числа: . Находим главное значение аргумента: . Следова­тельно, ▲

439. Представить в тригонометрической форме комплексное
число

∆ Находим , ; , ,т.е.

. ▲

440. Представить в тригонометрической форме комплексные
числа 1, i, —1, —i.

∆

▲

441. Представить числа , ,
в тригонометрической форме, а затем найти комплексное число
z₁/(z₂z₃).

 

∆ Находим

;

,

;

,

.

Следовательно,

и

▲

442. Найти все значения .

∆ Запишем комплексное число в тригонометрической форме. Имеем , , . Следовательно,

Если ;

.

Следовательно, , ,

443. Решить двучленное уравнение ω⁵ + 32i = 0.

∆ Перепишем, уравнение в виде ω⁵ + 32i = 0. Число —32i представим в три­гонометрической форме:

или

т. е.

Если k = 0, то (A).

k =1, (B).

k =2, (C).

k =3, (D).

k =4, (E).

Корням двучленного уравнения соответствуют вершины правильного пяти­угольника, вписанного в окружность радиуса R = 2 с центром в начале коор­динат (рис. 28).

Вообще корням двучленного уравнения ωⁿ=а, где а —комплексное число, соответствуют вершины правильного n -угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом, равным ▲

444. Пользуясь формулой Муавра, выразить соs5φ и sin5 φ через соsφ и sinφ.

∆ Левую часть равенства преобразуем по формуле бинома Ньютона:

Остается приравнять действительные и мнимые части равенства:

▲

445. Дано комплексное число z = 2—2i. Найти Re z, Im z, |z|, arg z.

446. Представить в тригонометрической форме комплексное число z = —12 + 5i.

447. Вычислить по формуле Муавра выражение (соs 2° + isin 2°)⁴⁵.

448. Вычислить по формуле Муавра .

449. Представить в тригонометрической форме комплексное число

z = 1 + соs 20° +isin 20°.

450. Вычислить выражение (2 + 3i)³.

451. Вычислить выражение

452. Вычислить выражение

453. Представить в тригонометрической форме комплексное число 5—3i.

454. Представить в тригонометрической форме комплексное число —1 + i.

455. Вычислить выражение

456. Вычислить выражение предварительно представив в тригонометрической форме множители в числителе и знаменателе.

457. Найти все значения

458. Решить двучленное уравнение

459. Выразить соs4φ и sin4φ через соsφ и sinφ.

460. Показать, что расстояние между точками z₁ и z₂ равно | z₂ — z₁ |.

∆ Имеем z₁ = х₁ + iу₁, z₂ = х₂ + iу₂, z₂—z₁ = (x₂-x₁) + i(y₂-y₁), откуда

т.е. | z₂ — z₁ | равно расстоянию между данными точками. ▲

461. Какая линия описывается точкой z, удовлетворяющей уравнению где с —постоянное комплексное число, а R>0?

462. Каков геометрический смысл неравенств: 1) | z—с|<R;2) |z—с|>R?

463. Каков геометрический смысл неравенств: 1) Re z > 0; 2) Im z < 0?

2. Ряды с комплексными членами. Рассмотрим последовательность комп­лексных чисел z₁, z ₂, z ₃,..., где z_п = х_п+iу_п (п = 1, 2, 3,...). Постоянное число с = а + bi называется пределом последовательности z₁, z ₂, z ₃,..., если для всякого сколь угодно малого числа δ>0 найдется такой номер N, что рее значения z_п с номерами п > N удовлетворяют неравенству \z_п — с\ < δ. В этом случае пишут .

Необходимое и достаточное условие существования предела последова­тельности комплексных чисел состоит в следующем: число с=а+bi является пределом последовательности комплексных чисел х₁+iу₁, х₂+iу₂, х₃+iу₃, … тогда и только тогда, когда , .

Ряд

(1)

членами которого являются комплексные числа, называется сходящимся, если n-я частичная сумма ряда S_n при п → ∞ стремится к определенному конеч­ному пределу. В противном случае ряд (1) называется расходящимся.

Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды с действи­тельными членами

(2)

и

(3)

Если суммой ряда (2) является число S', а суммой ряда (3) — число S", то суммой ряда (1) служит комплексное число S = S'+iS".

Если ряд

(где )

сходится, то (т.е. , ).

Если сходится ряд

то сходится и ряд

В этом случае последний ряд называется абсолютно сходящимся.

Пусть дан степенной ряд

где z₀, а₀, а₁, а₂,... —комплексные числа, причем коэффициенты ряда отличны от нуля, а z —комплексное переменное.

Этот ряд сходится в круге где и расходится вне указанного круга, т. е. при значениях г, удовлетворяющих нера­венству

464. Исследовать сходимость ряда

∆ Ряды

и

сходятся, так как они составлены из членов бесконечно убывающих геометри­ческих прогрессий. Следовательно, сходится и заданный ряд с комплексными членами.

Найдем суммы этих прогрессий:

Следовательно, сумма рассматриваемого ряда есть комплексное число ▲

465. Исследовать сходимость ряда

∆ Рассмотрим ряды

и

Первый из них расходится, следовательно, расходится и данный ряд с комплексными членами. ▲

466. Исследовать сходимость ряда

∆ Ряд расходится, так как общий его член не стремится к нулю (в этом рекомендуем убедиться самостоятельно). ▲

467. Показать, что ряд

сходится абсолютно.

∆ Так как то

Следовательно, Составим ряд из модулей:

Этот ряд, члены которого образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, сходится; следовательно, заданный ряд с комплексными членами сходится абсолютно. ^

468. Найти область сходимости ряда

∆ Имеем

Областью сходимости ряда является круг

469. Показать, что ряд

сходится и найти его сумму.

470. Исследовать сходимость ряда

471. Исследовать сходимость ряда с общим членом

472. Показать, что ряд

сходится абсолютно.

473. Найти область сходимости ряда

474. Найти область сходимости ряда