Численное оценивание параметров моделей

Параметры полиноминальных кривых оцениваются чаще всего методом наименьших квадратов, который требует, чтобы сумма квадратов отношений фактических уровней ряда от соответствующих выровненных на кривой роста значений была наименьшей.

Для полинома первой степени

система нормальных уравнений имеет вид

где знак суммирования распространяется на все моменты наблюдения (все уровни) исходного ВР.

Для полинома второй степени

Пример. 7.3. Методом наименьших квадратов подобрать для заданных значений x и y (таблица 7.5) полином второй степени.

Таблица 7.5

Исходные данные задачи

№ п/п=k
t
yk	7,4	8,4	9,1	9,4	9,5	9,5	9,4

 

Составим расчетную таблицу (таблица 7.6) для системы уравнений.

Таблица 7.6

Расчетная таблица задачи

№ п/п=k	tk	tk2	tk3	tk4	yk	tk ּ yk	tk2 ּ yk
					7,4	51,8	362,6
					8,4	67,2	537,6
					9,1	81,9	737,1
					9,4	94,0	940,0
					9,5	104,5	1149,5
					9,5	114,0	1368,0
					9,4	122,2	1588,6
∑					62,7	635,6	6683,4

 

Получаем систему уравнений:

Решая систему, получаем a ₀ = 2,12; a ₁ = 1,10; a ₂ = - 0,04.

Тогда

Для нахождения параметров экспоненциальных и S-образных кривых их сначала логарифмируют, чтобы получить линейное выражение относительно логарифмов, а затем используют метод наименьших квадратов.

При определении параметров кривых роста, имеющих асимптоты, различают два случая. Если значение асимптоты известно заранее, то перенося значение параметра к и логарифмируя, получают полином относительно логарифмов, а затем используют метод наименьших квадратов.

Если значение асимптоты неизвестно, то используют приближённые методы: метод трёх точек, метод трёх сумм и т.д.

 

Проверка качества моделей

Адекватность модели

Для проверки адекватности модели исследуют ряд остатков

,

т.е. отклонений расчетных значений от фактических . Если трендовая модель выбрана правильно, то для остатков ха­рактерно: равенство нулю математического ожидания; случай­ный характер отклонений от математического ожидания; отсут­ствие автокорреляции и неизменность дисперсии остатков во времени; нормальный закон распределения. Рассмотрим пере­численные требования подробнее.

1. Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется на основе t -критерия Стьюдента. Вычисляется расчетное t_p значение этого критерия:

(7.1)

где – среднее арифметическое значение уровней ряда остатков;

– среднеквадратическое отклонение для последовательности ε_t.

(7.2)

Расчетное значение критерия t_p сравнивается с табличным t_α,ν. На уровне значимости α гипотеза отклоняется, если t_p > t_α,ν, где t_α,ν – критерий распределения Стьюдента с довери­тельной вероятностью (1 – α) и ν = n - 1 степенями свободы.

2. Для проверки условия случайности возникновений отдельных отклонений от тренда часто используется критерий пиков, основанный на поворотных точках. Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно боль­ше соседних с ним элементов или, наоборот, меньше значений предыдущего и последующего за ним элементов.

В случай­ной выборке среднее арифметическое числа поворотных точек равна = 2 / 3 (n – 2),

а их дисперсия вычисляется по формуле:

.

Учитывая эти соот­ношения, критерий случайности отклонений от тренда при уров­не вероятности 0,95 можно представить, как

(7.3)

,

где р – фактическое количество поворотных точек в случайном ряду, а квадратные скобки означают, что от результата вычисле­ния следует взять только целую часть, отбросив дробную, какой бы она не была.

Если неравенство не соблюдается, то ряд остатков нельзя считать случайным (т.е. он содержит регулярную компоненту), и стало быть, модель не является адекватной.

3. Наличие (отсутствие) автокорреляции в отклонениях от модели роста проще всего проверить с помощью критерия Дарбина-Уотсона. С этой целью строится (d критерий) Дарбина-Уотсона, в основе которого лежит расчетная формула

(7.4)

Теоретическое основание применения этого критерия обус­ловлено тем, что в динамических рядах как сами наблюдения, так и отклонения от них распределяются в хронологическом порядке.

При отсутствии автокорреляции значение d примерно рав­но 2, а при полной автокорреляции — 0 или 4. Следовательно, оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальными. Верхние (d ₂) и нижние (d ₁) критические значе­ния, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсут­ствии автокорреляции, зависят от количества уровней временного ряда и числа независимых переменных модели. Значе­ния этих границ для уровня значимости α = 0,05 даны в таблице 7.7, где k – число независимых переменных.

Таблица 7.7