Тема 4. Введение в анализ (пределы)

Вопросы для самопроверки

1. Какая величина называется постоянной, переменной?

2. Что называется функцией, областью определения функции?

3. Какая величина называется бесконечно малой, бесконечно большой?

4. Что называется пределом функции?

5. Сформулируйте теоремы о пределах.

6. Дайте определение непрерывности функции в точке, в интервале и на отрезке.

7. Что называется точкой разрыва?

 

Рекомендации к решению задания

 

;

.

При подстановке в функцию предельного значения аргумента получилась неопределенность вида Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель дроби на икс в наивысшей степени, т. е. х ³.

.

 

 

При подстановке в функцию предельного значения аргумента получилась неопределенность вида Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю:

.

.

Задание 4

Задачи 61–80. Найти пределы функций.

61.			в) ;
	.
62.			в)
63.			в)
64.			в)
65.			в)
66.			в)
67.			в)
68.			в)
69.			в)
70.			в)
71.			в)
72.			в)
73.			в)
74.			в) ;
75.			в)
76.			в)
77.			в)
78.			в)
79.			в)
80.			в) ;

 

Тема 5. Производная функции. Ее применение.

Геометрический и физический смысл

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Объясните понятие средней скорости изменения функции, мгновенной скорости изменения функции.

2. Дайте определение производной функции.

3. Сформулируйте геометрический смысл производной функции в точке.

4. Чему равна производная от постоянной величины, от аргумента?

5. Чему равны производные от основных элементарных функций?

6. Сформулируйте правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций.

7. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.

8. Дайте определение дифференциала функции в точке.

9. Напишите формулу для вычисления дифференциала функции в точке.

10. В чем суть правила Лопиталя при раскрытии неопределенностей?

 

Рекомендации к решению заданий

 

Для решения заданий 5 – 7 необходимо знать правила дифференцирования и таблицу производных основных элементарных функций.

Правила дифференцирования:

1. ;	2. ;
3. ;	4. .

Производные основных элементарных функций:

1.	;	.
2.	;	.
3.	;	.
4.	;	.
5.	;	.
6.	;	.
7.	;	.
8.	;	.
9.	;	.
10.	;	.
11.	;	.
12.	;	.
13.	;	.
14.	;	.
15.	;	.

 

В левом столбце приведенной выше таблицы записаны производные основных элементарных функций, в правом – производные соответствующих сложных функций.

 

Найдем производные заданных функций.

1. .

+ .

2. .

.

3. .

.

4. .

.

 

Задание 5

 

Задачи 81–100. Найти производные заданных функций.

 

81.	;	;
	;	.
82.	;	;
	;	.
83.	;	;
	;	.
84.		;
	;	.
85.	;	;
	;	.
86.	;	;
	;	.
87.		;
	;	.
88.
89.	;	;
	;	.
90.	;	;
	;	.
91.	;	;
	;	.
92.	;	;
	;	.
93.	;	;
	;	.
94.	;	;
	;	.
95.	;	;
	;	.
96.	;	;
	;	.
97.		;
	;	.
98.	;	;
	;	.
99.	;	;
	;	.
100.	;	;
	;	.

 

Пусть требуется провести полное исследование функции и построить ее график.

 

1. Область определения функции характеризуется неравенством х +4¹0, откуда получаем х ¹–4, т. е.

2. Исследуем функцию на непрерывность. Из пункта 1 следует, что функция не определена в точке x = –4. Значит, эта точка является точкой разрыва графика функции. Классифицируем данный разрыв. Для этого вычислим односторонние пределы функции в этой точке:

, .

Таким образом, точка является точкой разрыва второго рода, а прямая – вертикальной асимптотой графика функции.

3. Исследуем функцию на наличие наклонных асимптот:

.

.

Так как оба предела существуют и конечны, то прямая y=3 x –10 является наклонной асимптотой графика функции.

4. Функция имеет общий вид, так как область ее определения не симметрична относительно начала координат.

5. Исследуем функцию на экстремум. Для этого найдем критические точки – это точки, в которых первая производная функции обращается в ноль или не существует. Первая производная функции будет равна:

 

Приравняем ее к нулю: . Решим полученное уравнение. Данное уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю: . В результате получаем критические точки .

Разобьем область определения критическими точками на интервалы и определим знаки первой производной на каждом интервале:

 

x	(-¥; –8)	–8	(–8; –4)	–4	(–4; 0)		(0; +¥)
y¢	+		–	Не сущ.	–		+
y		max – 46		Не сущ.		min

 

y _max= y (–8)= – 46; y _min= y (0)=2.

 

 

6. Исследуем функцию на перегиб. Для этого найдем точки подозрительные на перегиб:

 

=

.

 

Так как вторая производная функции никогда в ноль не обращается, то график заданной функции точек перегиба не имеет.

Покажем интервалы выпуклости вверх и вниз для данной функции. Для этого рассмотрим интервалы области определения функции и определим знак ее второй производной на этих интервалах.

 

 

х (–¥; –4) –4 (–4; +¥) y ² – Не сущ. + y Ç Не сущ. È

 

 

Анализ показывает, что на интервале (–¥; –4) график функции является выпуклым вверх, а на интервале (–4; +¥) – выпуклым вниз.

7. По результатам исследования стро­им график функции (рис. 2).

Задание 6

 

Задачи 101–120. Провести полное исследование функций и построить графики:

 

101. .	111. .
102. .	112. .
103. .	113. .
104. .	114. .
105. .	115. .
106. .	116. .
107. .	117. .
108. .	118. .
109. .	119. .
110.	120. .

Пусть задана функция S (t) = 7 t ⁴–3 t ³+2 t ²–5 t +6, которая определяет перемещение материальной точки. Требуется найти значения скорости и ускорения этой точки в момент времени t ₀=1.

Известно, что значения скорости и ускорения материальной точки в некоторый момент времени являются значениями соответственно первой и второй производной функции, определяющей ее перемещение, в этот момент времени. Поэтому найдем:

;

.

 

Задание 7

 

Задачи 121–140. В задачах задан закон S (t) перемещения материальной точки. Требуется найти значения скорости и ускорения этой точки в момент времени t ₀.

121. S (t)=3 t 4+2 t 2– t +1, t 0=1.	122. S (t)= t 4+ t 2–5 t +1, t 0=2.
123. S (t)=4 t 4–2 t 3+ t 2–3, t 0=1.	124. S(t)=2 t 4–5 t 3+11 t 2+22 t –1, t 0=2.
125. S(t)=3 t 4–2 t 3+7 t 2+ t –1, t 0=1.	126. S (t)=4 t 4–8 t 3+5 t 2+2 t +3, t 0=2.
127. S (t)=2 t 4– t 3+3 t 2–5 t +1, t 0=1.	128. S (t)=3 t 4+2 t 3– t 2+4 t, t 0=2.
129. S (t)=2 t 4–7 t 3+5 t 2– t +2, t 0=1.	130. S (t)=5 t 4–3 t 3+2 t 2+2 t –7, t 0=1.
131. S (t)= t 4–2 t 3+6 t 2–3 t +1, t 0=1.	132. S (t)=3 t 4–5 t 3+ t 2–7 t +3, t 0=2.
133. S (t)=2 t 4+3 t 3+ t 2–5 t +11, t 0=1.	134. S (t)=4 t 4–5 t 2+5 t +3, t 0=2.
135. S (t)=2 t 4–3 t 3+4 t –1, t 0=1.	136. S (t)=5 t 4–7 t 3+ t 2–3, t 0=2.
137. S (t)=5 t 4+8 t 3–2 t 2+t–1, t 0=1.	138. S (t)=3 t 4+2 t 2–3, t 0=2.
139. S (t)=2 t 4–3 t 2+6 t –1, t 0=1.	140. S (t)=3 t 4–4 t 3+2 t 2– t +6, t 0=2.

 

Тема 6. нЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Сформулируйте определение первообразной функции.

2. Что называется неопределенным интегралом функции?

3. Какое действие называют интегрированием функции?

4. Сформулируйте основные правила интегрирования.

5. Укажите основные свойства неопределенного интеграла.

6. Запишите формулу интегрирования по частям и изложите идею этого метода.

7. Укажите типы интегралов, в которых используется метод интегрирования по частям. Как использовать его в этих интегралах?

 

Рекомендации к решению заданий

 

Для проведения интегрирования функций необходимо знать основную таблицу неопределенных интегралов и их свойства.

Основная таблица интегралов:

	n ¹–1.		.
	.		.
	.		.
	.		.
	.		.

Свойства неопределенного интеграла:

1) d 2)

3) 4)

 

Пусть требуется найти неопределенный интеграл

и результат его вычисления проверить дифференцированием.

 

.

Сделаем проверку дифференцированием:

=

 

Найдем неопределенные интегралы:

1)

3) ;

;

Задание 8

 

Задачи 141–160. Найти неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием.

 

141.	.	151.	.
142.	.	152.	.
143.	.	153.	.
144.	.	154.	.
145.	.	155.	.
146.	.	156.	.
147.	.	157.	.
148.	.	158.	.
149.	.	159.	.
150.	.	160.	.

Задание 9

Задачи 161–180. Найти неопределенные интегралы.

 

161.	;	;
	;	.
162.	;	;
	;	.
163.	;	;
	;	.
164.	;	;
	;	.
165.	;	;
	;	.
166.	;	;
	;	.
167.	;	;
	;	.
168.	;	;
	;	.
169.	;	;
	;	.
170.	;	;
	;	.
171.	;	;
	;	.
172.	;	;
	;	.
173.	;	;
	;	.
174.	;	;
	;	.
175.	;	;
	;	.
176.	;	;
	;	.
177.	;	;
	;	.
178.	;	;
	;	.
179.	;	;
	;	.
180.	;	;
	;	.

 

Тема 7. Определенный интеграл. ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Дайте