Переход от одной системы координат к другой.

 

При исследовании свойств кривых 2-го порядка незаменимым подспорьем являются так называемые инварианты. Они задаются формулами (20), (21), (22).

 

(20) (21)

 

(22).

 

Инвариант в переводе на русский язык означает «неизменный». Дело в том, что как бы мы ни вращали координаты и ни переносили начало отсчёта, величины инвариантов не меняются, несмотря на то, что изменяются коэффициенты, входящие в матрицу (18а).

То есть, при повороте и сдвиге осей, из разных чисел, входящих в старую и новую матрицу коэффициентов, путем их подстановки в выражения для инвариантов получаются одни и те же числа. И свойства этих инвариантов определяют типы кривых: эллиптический, гиперболический, параболический.

 

Эллиптический тип: .

 

Если при этом не только , но и и то кривая является эллипсом.

 

Гиперболический тип:

Если при этом не только , но и и то кривая является гиперболой.

 

Параболический тип: .

Если при этом не только , но и , и , то кривая является параболой.

 

Эллиптический, гиперболический и параболический типы с инвариантами и равными нулю, мы здесь не рассматриваем. Они дают вырожденные случаи, весьма отдалённо напоминающие эллипс, гиперболу или параболу. Информация на эту тему есть в математических справочниках.

 

Если , тосистема двух уравнений с двумя неизвестными х₀ и у₀

(23)

 

имеет единственное решение. Точка с координатами х₀ и у₀ и будет тем центром, куда следует поместить новое начало координат, чтобы исчезли слагаемые с первыми степенями. Другими словами, для эллипса и гиперболы всегда существует центр.

 

Поверхности 2-го порядка

 

(24)

Или, что то же самое,

 

(25)

(24) и (25) – это тоже общее алгебраическое уравнение 2-го порядка, как и (18) и (19).

 

 

Но уже для трех переменных, а, значит, и определяет фигуры для 3-х мерного пространства. Оно, по аналогии с уравнением плоскости, задаёт поверхности в пространстве. Поверхности 2-го порядка уже сложнее и разнообразнее, чем плоскости. Все возможные плоскости интерпретируются как полученные из одной-единственной путём сдвигом и поворотов. С поверхностями 2-го порядка дела обстоят посложнее, но, всё-таки, это самые простые(в аналитическом смысле) представители искривлённых геометрических образов.

Для поверхностей 2-го порядка тоже существуют инварианты. Они задаются следующими формулами.

 

= (26)

 

= + (27)

 

(28) (29)

По инвариантам можно определить тип поверхности и привести уравнение к самому общепринятому (каноническому) виду.

По сравнению с двумерным случаем, разнообразие несколько увеличивается, и помимо ожидаемых эллипсоида, гиперболоида и параболоида появляются и такие фигуры как гиперболический параболоид, конус и различные цилиндры.

Как производить анализ таких фигур, можно найти в справочнике [Корн, Корн]. На данном этапе вам важно лишь усвоить принцип. В настоящее время красивый график для любого уравнения легко можно построить с помощью какой-либо компьютерной математической системы, например, Maple, Mathematica, MatLab. Эта лёгкость заметно снижает практическую ценность теории инвариантов для 2-х и 3-х мерных пространств.

 

 

Введение в матанализ

Важнейшие понятия

1. Число. Оно появляется в результате измерения. (Счёт тоже можно называть измерением.)

Служит для сравнения. А сравнение необходимо для того, чтобы сделать выбор, оказать предпочтение. Наша возможность что-либо аргументировано решать – весьма ограничена, пока мы не переходим к рассмотрению чисел. Числа можно изображать точками на числовой прямой. Длина отрезка, отложенного от нуля вправо, изображает положительное число, а отложенного влево от нуля – отрицательное число. Когда нам удобно, мы вместо чисел рассматриваем отрезки. От рассмотрения отрезков мы с легкостью перейдём к рассмотрению чисел, если так удобнее.

2. Переменная величина. Она принимает численные значения, но это не число! Назначение числа – твёрдо стоять на своём месте в ряду других чисел, полученных той же самой процедурой измерения. А переменная может принимать различные значения из диапазона.

3. Независимая переменная. Насекомое, которое летает в банке, каждый момент времени имеет произвольные координаты, ни от кого не зависимые.

4. Функция. Это величина, значения которой зависят от других величин. Она принимает те значения, которые ей назначено принимать. Функция в физике, химии, биологии – математическое описание закона природы. Закон одно разрешает, иное – запрещает.

Пример. Камень падает в колодец. Глубина падения, в зависимости от времени, меняется по закону , и никак иначе.

Функции задаются: графически, аналитически, таблично.

Аналитически – значит знаем алгоритм, как вычислить значение функции для данного аргумента (Аргумент – та независимая переменная, от которой как раз и зависит функция.)

5. Последовательность. Это функция натурального аргумента. С помощью последовательностей вычисляют функции внутри калькулятора, и не только.

Примеры .

6. Предел последовательности. Это число а, такое, что начиная с некоторого n, все члены последовательности попадают в сколь угодно малую окрестность этого числа а.

7. Неперывность функции. Функция f(x) называется непрерывной в точке x=a, если . Функция f(x) называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой точке х, принадлежащей отрезку.

8. Бесконечно малые функции. Функция f(x) называется бесконечно малой в окрестности точки x=a, если . Функция f(x) называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем функция g(x), если

Примеры. Функция f(x)=х³ при и функция g(x)=х². .