Определение вероятности события.

Алгебра событий.

1) Суммой двух событий А + В = АÈВ называется такое третье событие которое заключается в наступлении хотя бы одного из событий А или В (или).

2) Произведением двух событий А*В = АÇВ называется такое третье событие, которое заключается в наступлении двух событий одновременно (и).

3) Отрицанием события А является событие `А, которое заключается в ненаступлении А.

4) Если наступление события А приводит к наступлению события В и наоборот, то А=В.

Пусть множество S – это множество всех подмножеств пространства всех элементов W для которых выполняются следующие условия:

1. Если АÎ S, B Î S, то A+B = AÈB Î S

2. Если АÎ S, B Î S, то А*В = АÇВ Î S

3. Если АÎ S, то `А Î S.

Тогда множество S называется алгеброй событий.

При точном подходе достаточно одного из этих свойств, так как каждое из них следует из другого.

При расширении операции сложения и умножения, на случай счетного множества событий, алгебра событий называется бролевской алгеброй.

Определение вероятности события.

Аксиоматическое определение вероятности.

Вероятность события – это численная мера объективной возможности его появления.

Аксиомы вероятности:

· Каждому событию А ставится в соответствие неотрицательное число р, которое называется вероятностью события А. Р(А)=р ³ 0, где АÎ S, SÍW.

· Р(W) = 1, где W - истинное (достоверное) событие.

Аксиоматический подход не указывает, как конкретно находить вероятность.

Классическое определение вероятности.

Пусть событие А₁,А₂, …, А_n Î S (*) образуют пространство элементарных событий, тогда событие из * которое приводит к наступлению А, называют благоприятствующими исходами для А. Вероятностью А называется отношение числа исходов благоприятствующих наступлению события А, к числу всех равновозможных элементарных исходов.

Р(А)=	m(A)
n

Свойства вероятности:

1. 0 £ Р(А) £ 1,

2. Р (W) =1,

3. Р (`W) = 0.

Статическое определение вероятности.

Пусть проводится серия опытов (n раз), в результате которых наступает или не наступает некоторое событие А (m раз), тогда отношение m/n, при n®¥ называются статистической вероятностью события А.

Геометрическое определение вероятности.

Геометрической вероятностью называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области.

 

Формула Бернулли

Пусть некоторый опыт повторяется в неизменных усло­виях n раз, причём каждый раз может либо наступить (ус­пех), либо не наступить (неудача) некоторое событие А, где Р(А) = р - вероятность успеха, Р(А)=1-р= q - вероят­ность неудачи. Тогда вероятность того, что в к случаях из n произойдёт событие А вычисляется по формуле Бернулли

P_n(K) = C^k_n-p^k-q^n-k.
Условия, приводящие к формуле Бернулли, называ­ются схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли. Так как вероятности Р_n(к) для раз­ личных значений к представляют собой слагаемые в разложении бинома Ньютона

(p+q)ⁿ=C⁰_n*p⁰*qⁿ+C¹_n*p¹*q^n-1+…+C^k_n*p^k*q^n-k+…+Cⁿ_n*pⁿ*q⁰, то распределение вероятностей P_n(k), где 0≤k≤n, называется биноминальным.

Если в каждом из независимых испытаний вероятности наступления события А разные, то вероятность наступления события А к раз в n опытах определяется как коэф­фициент, при к-ой степени полинома

φ_n(Z)=Π(q_i+p_iZ)=a_nZⁿ+a_n-1Z^n-1+…+a₁Z₁+a₀, где φ_n(Z) - производящая функция.

Невероятнейшее число наступивших событий в схеме Бернулли - к_о (к₀ c К) определяется из следую­щего неравенства: np-q≤k₀≤np+p.

 

Формула Пуассона.

Если npq<10 и р<0,1, то

где λ=np.

Математическое ожидание.

Математическим ожиданием М(Х) ДСВ X назы­вается среднее значение случайной величины:

Или иначе, М(Х) - это сумма парных произведе­ний случайной величины на соответствующую веро­ятность:

Мода М_о(Х) распределения - это значение СВ, имею­щее наиболее вероятное значение.

Медиана М_е(Х) - это значение случайной величины, которое делит таблицу распределения на две части та­ким образом, что вероятность попадания в одну из них равна 0,5. Медиана обычно не определяется для ДСВ.

Свойства математического ожидания:

1) М(С)=С, где С=const;

2)М(СХ) = СМ(Х);

3) M(X±Y) = М(Х) ± M(Y);

4) Если случайные величины X и Y, независимы, то M(XY) = M(X)*M(Y).

Для биномиального распределения М(Х)=nр;

для геометрического распределения М(Х)= 1/р;

для распределения Пуассона М(Х)=λ;

для гипергеометрического распределения М(Х) = n(M/N).

Замечание.

1. В теории вероятностей различают две основные схемы: выбора элементов с возвращением каждый раз обратно и выбора без возвращения, которые описываются соответственно биномиальным и гипергеометрическим законами.

2. Геометрический закон описывает схему повторения опытов (в каждом из которых может наступить или не наступить событие А: Р(А)=р, q=l-p), до первого появления события А, то есть фактически это отрицательное биномиальное распределение при m=1.

 

Функции случайных величин

Закон распределения функции случайных величин.

Пусть имеется непрерывная случайная величина X с фун­кцией плотности вероятности f(x). Другая случайная вели­чина Y связана со случайной величиной X функциональной зависимостью: Y=φ(X). Случайная точка (X, Y) может нахо­диться только на кривой у=φ(х).

Дифференциальная функция случайной величины Y оп­ределяется при условии, что φ(х) - монотонна на интервале (а,b), тогда для функции φ(х) существует обратная функция: φ^-1= Ψ, x= Ψ(x).

Обычно, числовая прямая разбивается на n промежутков монотонности и обратная функция находится на каждом из них, поэтому g(y) -дифференциальная функция СВ Y опре­деляется по формуле

Замечание.

Математическое ожидание и дисперсию СВ Y - функ­ции случайной величины X(Y=φ(x)), имеющей дифферен­циальную функцию f(x), можно определить по формулам:

Закон больших чисел

Под законом больших чисел в теории вероятностей пони­мают совокупность теорем, в которых утверждается, что су­ществует связь между средним арифметическим достаточно большого числа случайных величин и средним арифметическим их математических ожиданий.

В1927 г. Гейзенберг открыл принцип неопределенности, который утверждает, что измерительное познание ограниче­но. Неопределенность является неотъемлемой частью нашей жизни, однако, при большом числе однотипных опытов можно установить определенные закономерности.

Неравенство Чебышева.

Рассмотрим закон больших чисел в форме Чебышева.

Лемма Чебышева (Маркова). Если случайная вели­чина X принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание М(Х), то для любого α>0 име­ет место неравенство: P(X≥α)≤(M(X))/α.

Неравенство Чебышева. Если случайная величина X име­ет математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X), то для любого ε>0 имеет место неравенство:

Неравенство Чебышева является в теории вероятностей общим фактом и позволяет оценить нижнюю границу веро­ятности.

30. Теорема. Закон больших чисел Чебышева. Пусть Х₁, Х₂,...,Х_n - последовательность попарно независимых случай­ных величин, имеющих конечные математические ожидания и дисперсии, ограниченные сверху постоянной С = const (D(X_i)≤C(i=l, 2,...,n)). Тогда для любого ε>0,

Теорема показывает, что среднее арифметическое боль­шого числа случайных величин с вероятностью сколь угодно близкой к 1 будет мало отклоняться от среднего ариф­метического математических ожиданий.

Следствие 1. Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна р, m - число наступлений события А в серии из n независимых испыта­ний, то, каково бы ни было число е > 0, имеет место предел:

Таким образом устанавливается связь между отно­сительной частотой появления события А и постоянной вероятностью р в серии из n независимых испытаний.

Следствие 2. Теорема Пуассона. Если в последовательности независимых испытаний вероятность появ­ления события А в к-ом испытании равна р, то

где m - число появлений события А в серии из n испытаний.

Следствие 3. Теорема Бернулли. Если X₁, Х₂,...,Х_n - пос­ледовательность независимых случайных величин таких, что М(Х₁) = М(Х₂)=...= М(Х_n) = а, D(Х₁)< С, D(X₂) < С,...,D(X_n)< С, где С = const, то, каково бы ни было постоянное число ε>0, имеет место предел:

Этот частный случай закона больших чисел позволяет обосновать правило средней арифметической.

Законы больших чисел не позволяют уменьшить неопре­делённость в каждом конкретном случае, они утверждают лишь о существовании закономерности при достаточно боль­шом числе опытов. Например, если при подбрасывании мо­неты 10 раз появился герб, то это не означает, что в 11 раз появится цифра.

Алгебра событий.

1) Суммой двух событий А + В = АÈВ называется такое третье событие которое заключается в наступлении хотя бы одного из событий А или В (или).

2) Произведением двух событий А*В = АÇВ называется такое третье событие, которое заключается в наступлении двух событий одновременно (и).

3) Отрицанием события А является событие `А, которое заключается в ненаступлении А.

4) Если наступление события А приводит к наступлению события В и наоборот, то А=В.

Пусть множество S – это множество всех подмножеств пространства всех элементов W для которых выполняются следующие условия:

1. Если АÎ S, B Î S, то A+B = AÈB Î S

2. Если АÎ S, B Î S, то А*В = АÇВ Î S

3. Если АÎ S, то `А Î S.

Тогда множество S называется алгеброй событий.

При точном подходе достаточно одного из этих свойств, так как каждое из них следует из другого.

При расширении операции сложения и умножения, на случай счетного множества событий, алгебра событий называется бролевской алгеброй.

Определение вероятности события.

Аксиоматическое определение вероятности.

Вероятность события – это численная мера объективной возможности его появления.

Аксиомы вероятности:

· Каждому событию А ставится в соответствие неотрицательное число р, которое называется вероятностью события А. Р(А)=р ³ 0, где АÎ S, SÍW.

· Р(W) = 1, где W - истинное (достоверное) событие.

Аксиоматический подход не указывает, как конкретно находить вероятность.

Классическое определение вероятности.

Пусть событие А₁,А₂, …, А_n Î S (*) образуют пространство элементарных событий, тогда событие из * которое приводит к наступлению А, называют благоприятствующими исходами для А. Вероятностью А называется отношение числа исходов благоприятствующих наступлению события А, к числу всех равновозможных элементарных исходов.

Р(А)=	m(A)
n

Свойства вероятности:

1. 0 £ Р(А) £ 1,

2. Р (W) =1,

3. Р (`W) = 0.

Статическое определение вероятности.

Пусть проводится серия опытов (n раз), в результате которых наступает или не наступает некоторое событие А (m раз), тогда отношение m/n, при n®¥ называются статистической вероятностью события А.

Геометрическое определение вероятности.

Геометрической вероятностью называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области.

 

Формула Бернулли

Пусть некоторый опыт повторяется в неизменных усло­виях n раз, причём каждый раз может либо наступить (ус­пех), либо не наступить (неудача) некоторое событие А, где Р(А) = р - вероятность успеха, Р(А)=1-р= q - вероят­ность неудачи. Тогда вероятность того, что в к случаях из n произойдёт событие А вычисляется по формуле Бернулли

P_n(K) = C^k_n-p^k-q^n-k.
Условия, приводящие к формуле Бернулли, называ­ются схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли. Так как вероятности Р_n(к) для раз­ личных значений к представляют собой слагаемые в разложении бинома Ньютона

(p+q)ⁿ=C⁰_n*p⁰*qⁿ+C¹_n*p¹*q^n-1+…+C^k_n*p^k*q^n-k+…+Cⁿ_n*pⁿ*q⁰, то распределение вероятностей P_n(k), где 0≤k≤n, называется биноминальным.

Если в каждом из независимых испытаний вероятности наступления события А разные, то вероятность наступления события А к раз в n опытах определяется как коэф­фициент, при к-ой степени полинома

φ_n(Z)=Π(q_i+p_iZ)=a_nZⁿ+a_n-1Z^n-1+…+a₁Z₁+a₀, где φ_n(Z) - производящая функция.

Невероятнейшее число наступивших событий в схеме Бернулли - к_о (к₀ c К) определяется из следую­щего неравенства: np-q≤k₀≤np+p.