Простыемоделидемографическогороста

Простыми^[90]называютдемографическиемодели, вкоторыхспомощьюизвестныханалитическихфункций (линейные, экспоненциальные, гиперболическиеидр.) описываетсядинамикачисленностинаселениябезучетаизмененийвозрастно-половойструктурыиегодругихвнутренниххарактеристик. Простыемоделидемографическогоростанаселенияпоявилисьвдемографическойнаукев XVII веке. ВдальнейшемихиспользоваливсвоихтеоретическихисследованияхвыдающиесяматематикиидемографыЛ. Эйлер, В. БорткевичиА. Лотка.Внастоящеевремяпростыемоделиростанаселенияприменяютсядлярешениясамыхразнообразныхдемографическихиэкономическихзадач, вчастности:

– длявыполненияинтерполяционных, ретроспективныхипрогнозныхоценокчисленностивсегонаселенияиегоотдельныхгрупп;

– дляоценки демографическойситуации, на нихоснованынекоторые демографическиепоказатели;

– вкачествеэкзогенныхпредпосылоконивходятвразличныеэкономическиемодели.

ДЕМОГРАФИЧЕСКИЙРОСТСПОСТОЯННЫМ

ТЕМПОМПРИРОСТА

а) изменениенаселенияпозаконугеометрическойпрогрессии

Пустьнамизвестначисленностьнекоторогонаселениянаначалогода P (0)итемпегоприростазагодθ _пр . Численностьэтогонаселениянаконецтекущего (илиначалоследующего) годаможноопределитьпоформуле (16.6):

P (1) = P (0)⋅(1+θ _пр). (16.6)

Еслитемпприростаостанетсявбудущемнеизменным, томожноопределитьчисленностьнаселениявтечениевсехпоследующихлет. Общаясхемаизменениячисленностинаселениябудетвыглядетьследующимобразом:

численность населенияна:	правиловычисления
началопервогогода	P (0)
конецвторогогода	P (1) = P (0)⋅(1+ θ пр)
конецтретьегогода	P (2) = P (1)⋅(1+ θ пр) = P (0)⋅(1+θ пр)2
конецчетвертогогода	P (3) = P (2)⋅(1+ θ пр) = P (1)⋅(1+ θ пр)2 = P (0)⋅(1+ θ пр)3
…	…
конецгодаτ	P (τ) = P (τ−1)⋅(1+ θ пр) =…= P (0)⋅(1+θ пр)τ

Изпоследнеговыраженияследует, чтонапротяженииτлетчисленностьисследуемогонаселениянаконецкаждого k –гогодабудетизменятьсяпоформуле

P (k) = P (0)⋅(1+θ _пр) ^k , (16.7) т.е. по закону геометрической прогрессии. Такимобразом, геометрическаяпрогрессияявляетсямодельюизменениячисленностинаселенияспостояннымгодовымтемпомприроста.

б) экспоненциальныйдемографическийрост

Позаконугеометрическойпрогрессиичисленностьнаселенияменяет-

сядискретно, т.е. вопределеннойточкевременногопромежутка (внашемслучае — вконце каждогогода). Однаковреальнойдействительностичисленностьнаселенияизменяетсянепрерывно, т.е. вкаждойточкевременногоинтервала. Поэтомуаналитическоеописаниедемографическогоростаспомощьюнепрерывныхпроцессовболееадекватно, чемнаосноведискретных. Непрерывныманалогомгеометрическойпрогрессииявляетсяэкспоненциальнаяфункция. Такимобразом, формуланепрерывногодемографическогороставыражаетсяуравнением

P (k) = P (0)⋅ e^{r ⋅ t} , (16.8)

где e — основаниенатуральногологарифма (e ≈ 2,718281828); r — моментальныйкоэффициентприростанаселения, являющийсяпостоянной. Есливеличина r большенуля, точисленностьнаселенияувеличивается, если r меньшенуля —уменьшается, если r равно 0 — остаетсяпостоянной. Примеркривыхэкспоненциальногоростаприразныхзначенияхпостоянной r можноувидетьнарисунке 16.1.

Рис. 16.1. Модель экспоненциального роста населения России в 2000–2100 гг. при разных параметрах r (в млн. чел.)

Однакопрактикапоказала, чтовсегипотезыодинамикечисленности

населения, основанныенаэкспоненциальноймодели, невыдерживалипроверкипрактикойнадлительныхпериодах. Темпыдемографическогоростаменяются. Крометого, нанихвлияетдемографическийпотенциал, накопленныйвозрастнойструктурой. Применениевозможностеймоделидлявыполненияретроспективныхиперспективныхоценкокдемографическойдинамикиограниченокороткимивременнымиинтервалами. б) среднегодовые темпы прироста населения

Длясравненияскоростиувеличениячисленностинаселениявразныепопродолжительностипериодынеобходимооцениватьсреднегодовыетемпыростаиприроста населения. Восновеэтих оценоклежатпредположенияотом, чтовизучаемыймежпереписнойпериоднаселениеизменялосьпогеометрическойпрогрессииилиэкспоненциальномузакону. Изформулы (16.7) путемпростыхарифметическихпреобразованийнепосредственноопределяетсянеизвестнаявеличинаθ _пр , котораяиявляетсясреднегодовымтемпомприростанаселенияза k лет:

θ _пр = _k ^{P (k)} −1, (16.9)

P (0)

Еслиединицуперенестивправуючастьуравнения, томыполучим

среднегодовойтемпростанаселения: θ _р =1+θ _пр = _k ^{P (k)} . P (0)

Пустьтеперьнаселениеизменяетсяпоэкспоненциальномузакону. Тогдаизуравнения (16.8) среднегодовойтемпприростанаселенияза k летравен:

r = ln(P (k)/ P (0). (16.9)

k

16.10.ПЕРИОД УДВОЕНИЯ ЧИСЛЕННОСТИ НАСЕЛЕНИЯ Одинизсамыхраспространенныхподходовкоценкесовременнойдемографическойситуациизаключаетсявоценкенастоящегочерезбудущее. Мыпредполагаем, чтопараметры «сегодняшнегодня» унаселениясохранятсяивотдаленнойперспективе. Затеманализируютсядемографическиехарактеристики, которыенаселениеприобрететвбудущем. Однимизтакихпоказателей, оценивающихнастоящеечерезбудущее, является «периодудвоениячисленностинаселения». Онизмеряетскоростьдемографическогороставременем, котороепотребуетсянекоторомунаселению, чтобыудвоитьсвоючисленностьприсохраненииданноготемпаприроста. Чемкорочеэтотпериод, тембыстреерастетнаселение. Естественно, еслиприростнаселенияимеетотрицательнуювеличину, торечьидетовременидвукратногосокращениячисленностинаселения.

Периодудвоениялегкорассчитатькакдлядискретного, такинепрерывноговременидемографическихизменений. Впервомслучаеизформулыгеометрическойпрогрессииприусловии P (T) = 2⋅ P (0) следует

 

2⋅ P (0) = P (0)⋅(1+θ _пр) ^T . Откудаполучаем, чтопериодудвоенияравен:

T = . (16.11) Вовторомслучае изэкспоненциальногозаконадемографическогороставытекает 2⋅ P (0) = P (0)⋅ er ^{⋅ T} . Логарифмируялевуюиправуючасти, легкополучить, чтопериодудвоениядлянепрерывногослучаяравен:

T = ^ln2 . (16.12) r

Вычислениепериодаудвоениявдемографических, финансовыхиэкономическихрасчетахизвестнотакжекак «правило 70». Натуральныйлогарифм 2 равен 0,6931… илиокругленно 0,7. Тогдавнепрерывномслучаепериодудвоениябудетравен T = 0,7/ r или T = 70/(100⋅ r), есливыразитьприростнаселениявпроцентах (т.е. 100⋅ r). Вдискретномслучаедляполучения «правила 70» надозаменитьвеличину ln(1+ θ _пр) ееприближеннымзначениемθ _пр .