Решение задач контрольной работы

 

Задача 1

Абсолютно жесткий брус прикреплен к трем стержням при помощи шарниров (рис.7).Требуется:

1.Определить усилия в стержнях.

2.Считая, что все стержни круглого поперечного сечения, из условия прочности

при растяжении - сжатии подобрать диаметры этих стержней. Принять

допускаемое нормальное напряжение на сжатие [ s _с] = 100МПа, а на

растяжение - [ s _р] = 160МПа. Полученные по расчету диаметры стержней

округлить до четных или оканчивающихся на пять чисел (в миллиметрах).

3.Проверить прочность стержней.

Исходные данные:

a= 2, 4 м; b= 2 м; c= 3 м;

m= 32 кНм; F= 30 кН; q= 10 кН/м;

[ s _р] = 160МПа=160 ;

[ s _с] = 100МПа=100 .

Рис.7

Решение

Определение усилий в стержнях

Для определения усилий в стержнях разрежем стержни и в местах разрезов приложим неизвестные пока усилия, предполагая, что они вызывают растяжение (рис.8). После этого составляем три уравнения равновесия:

Сумма проекций всех сил на горизонтальную ось x

- N ₁·sin 45⁰ + N ₂·sin 45⁰=0; N ₁ = N ₂.

Сумма моментов всех сил относительно точки B

- F ·2, 4 - q ·5· (5/2+2, 4) - m - N ₃ · (2+3+2, 4) =0;

- 30·2, 4 - 10·5· (4, 9) -32- N ₃ · (7, 4) =0;

- 349 - N ₃ ·7, 4=0;

N ₃ = - 47,1 62 кН = - 47, 2 кН; N ₃ = - 47, 2 кН.

Сумма моментов всех сил относительно точки D

- F · (2, 4+2, 4+2+3) + N ₁·cos 45⁰ · (2, 4+2+3) + N ₂·cos 45⁰ · (2, 4+2+3) +

+ q ·5·5/2 - m =0;

- 30·9, 8 +2 N ₁·cos 45⁰ · (7, 4) + 10·12, 5 -32=0;

N ₁·10, 465- 201 =0;

N ₁ = 19, 2 069 кН = 19, 2 кН; N ₁ = N ₂ = 19, 2 кН.

 

Рис.8

Проверяем правильность вычисления опорных реакций (сумма проекций всех сил на вертикальную ось z должна быть равна 0)

F - N ₁·cos 45⁰ - N ₂·cos 45⁰ – q ·5– N ₃ = 30– 2·19, 2·0,707– 10·5–(- 47, 2)=

= 77, 2 – 77, 15=0, 05=0.

Из полученных результатов видим, что первый и второй стержни испытывают растяжение, а третий – сжатие.

 

Подбор сечений стержней из условия прочности по методу допускаемых напряжений при растяжении-сжатии

 

Условие прочности при растяжении или сжатии по нормальным напряжениям по методу допускаемых напряжений имеет вид:

s [ s ]. (1)

В этой формуле: s -истинное или рабочее нормальное напряжение;

N -продольная сила в стержне; A -площадь поперечного сечения этого стержня; [ s ] - допускаемое нормальное напряжение.

Условие прочности позволяет выполнить три вида расчета:

1. Проектный расчет. По заданной нагрузке определяют продольную силу N и из

Условия прочности находят величину требуемой площади поперечного сечения

.

2. Определение допускаемой нагрузки. По известной площади и допускаемому

напряжению определяют наибольшую величину допускаемой нагрузки

 

N .

3. Проверочный расчет. По известным значениям N, A, [ s ] проверяют

выполнение условия прочности.

Переходим к определению размеров поперечных сечений стержней.

Но, с другой стороны, Приравнивая , получаем

Откуда

Принимаем d ₁ = d ₂ = 1,2 см.

Для третьего стержня

Приравнивая , получаем

Принимаем d ₃ = 2,5 см.

Проверка прочности стержней

Фактическая площадь поперечного сечения первого и второго стержней

,

тогда рабочее нормальное напряжение

.

Из полученного результата устанавливаем, что стержни перегружены. Определяем величину перегрузки

% = % = 6,55 % > 5 %.

Замечание. По методу расчета по допускаемым напряжениям возможна

перегрузка стержней в пределах 5 %.

 

Увеличиваем диаметры первого и второго стержней d ₁ = d ₂ = 1,4 см.

, тогда рабочее нормальное напряжение

.

Условие прочности выполняется.

Окончательно принимаем d ₁ = d ₂ = 1,4 см.

Фактическая площадь поперечного сечения третьего стержня

, тогда рабочее нормальное напряжение

- 96, 130МПа= - 96, 1МПа.

│ s ₃│= 96, 1МПа < [ s _с] = 100МПа.

Условие прочности выполняется. Окончательно принимаем d ₃ = 2, 5 см.

 

Задача 2

 

Для заданного поперечного сечения, состоящего из прокатных профилей (рис.9), требуется:

1.Определить положение центра тяжести. Построить централь-

ные оси.

2.Найти величины осевых и центробежного моментов инерции

относительно центральных осей.

3. Определить направление главных центральных осей.

4. Найти величины осевых моментов инерции относительно

главных центральных осей.

5.Вычертить сечение в масштабе на миллиметровке формата А4

и указать на нем все размеры в числах и все оси.

Рис.9

Исходные данные: пластина - 200 ´ 20; равнобокий уголок - 160´160´12.

 

Решение

Будем считать, что пластина - фигура I, а равнополочный уголок -фи-гура II. Используя справочные таблицы, выписываем данные для каждой фигуры.

Фигура I- пластина 200´20

b = 20 мм =2см; h = 200 мм =20 см;

A ₁ = b h = 2∙20см²=40 см²;

 

 

 

Фигура II - равнополочный уголок 160´160´12

b =160 мм =16см;

d =12мм =1, 2 см;

A ₂ = 37, 4 см²;

z ₀=4, 39см;

 

 

Здесь и в дальнейшем A _1, A ₂ - соответственно площади первой и второй фигур, A - площадь составной фигуры (общая площадь). Верхние индексы I, II у моментов инерции соответствуют номерам фигур, их отсутствие означает, что определяется момент инерции всего сечения. Например, момент инерции первой фигуры относительно оси y ₁; центробежный момент инерции второй фигуры относительно осей y ₂, z ₂.

 

Замечание. В справочных таблицах значения центробежного момента инерции

уголка приводятся без учета знака. Знак центробежного момента

инерции можно выбрать в соответствии с рис.10.

 

 

Рис.10

 

Используя приведенные выше справочные данные, вычерчиваем сечение в масштабе с указанием всех осей и необходимых размеров в сантиметрах (рис.11). На рис.11 в рамках показаны размеры, взятые из справочных данных, остальные получены в ходе расчета.