История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2018-01-29 | 308 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Если функция ƒ(х) имеем предел, равный b, то ее можно представить как сумму числа b и бесконечно малой функции α(х), т.е. , то ƒ(х)=b+α(х), где α(х)- бесконечно малая величина.
Арифметические свойства пределов функции:
1)
2) ;
3) ;
4) ;
5)
Доказательства арифметических свойств пределов:
Теорема 1. Сумма сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов исходных последовательностей.
Доказательство: Пусть xn→a, yn→b, xn→a+an
an- бесконечно малая последовательность, yn=b+βn, βn-беск. малая последов.
xn+yn=(a+b)+(an+βn) xn+yn→a+b
Теорема 2. Еслиxn→a, yn→b, тоxn-yn → a-b
Теорема 3. Еслиxn→a, yn→b, тоxn*yn → a*b
Доказательство: xn=a+an, an– бесконечно малая последовательность, yn=b+βn, βn-беск. малая последов.
xn*yn=(a+an)*(b+βn)=a*b+a*βn+b*an+an*βn=a*b+γn,гдеγn=a*βn+b*an+an*βn
xn*yn→a*b
Теорема 4. Еслиxn→a, yn→b≠0, тоxn/yn=a / b
******************************
Теорема о двух милиционерах — теорема в математическом анализе о существовании предела у функции, которая «зажата» между двумя другими функциями, имеющими одинаковый предел. Формулируется следующим образом
Теорема. Если функция y=f(x) такая, что ф(x)≤f(x)≤ψ(x) для всех x {\displaystyle x} в некоторой окрестности точки a {\displaystyle a}, причём функции ф(x) и ψ(x)имеют одинаковый предел приx→a, то существует предел функции y=f(x) при x→a, равный этому же значению, то есть
Доказательство леммы о двух милиционерах:
Из неравенства ф(x)≤f(x)≤ ψ(x) получаем неравенство ф(x)-A≤f(x)-A≤ ψ(x)-A.
Тогда верно неравенство ). Условие позволяет предположить, что для любого ɛ>0 существует окрестность Uа, в которой верны неравенства . Из изложенной выше оценки максимумом следует, что при xϵUa, что удовлетворяет определению предела, т.е. .
Первый замечательный предел
Используется для раскрытия неопределённости .
–первый замечательный предел.
- Чертёж для док-ва
Доказательство первого замечательного предела:
Виды неопределённостей:
Где 0 – бесконечно малая величина, а ∞ - бесконечно большая величина, по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.
Для раскрытия неопределённостей используются различные методы преобразований, замечательные пределы(первый и второй).
Предел сложной функции.
Теорема 1. Если функция y=f(x) имеет в точке a конечный предел b и не принимает значения b в некоторой проколотой окрестности U∘(a) этой точки, а функция g(y) имеет в точке b конечный предел c, то сложная функция g(f(x)) имеет предел в точке a, равный c.
Эту теорему нетрудно распространить на суперпозицию более двух функций. Она позволяет использовать замену переменных при вычислении пределов сложных функций по формуле:
При этом говорят, что под знаком предела в левой части сделана замена f (x)= y. Данная теорема и возможность замены переменных остаются в силе, если хотя бы одна из точек a, b, c будет соответствовать одной из бесконечных точек +∞ или −∞ (или их объединению ∞) на расширенной числовой прямой.
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!