Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2018-01-29 | 800 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Задание
Гармонический анализ функции
1. Функцию f(x), заданную графически на промежутке (0,l), описать аналитически, а для функции f(x), заданной аналитически на промежутке (0,l), построить график.
2. Продолжить функцию f(x) произвольным, четным и нечетным образом на промежутке (-l,0) и построить графики периодически продолженных функций.
3. Проверить достаточные условия разложения периодически продолженных функций в тригонометрический ряд Фурье.
4. Найти коэффициенты Фурье и представить периодически продолженные функции рядом Фурье соответственно общего вида, по косинусам и по синусам.
5. Определить значение разложения функции в точках разрыва и на концах периодов.
6. Представить в аналитическом виде разложение функции в ряд Фурье для всех трех случаев продолжения.
7. Для всех трех случаев разложения функции построить графики сумм
0-й и 1-й гармоник
0-й, 1-й и 2-й гармоник,
0-й, 1-й, 2-й и 3-й гармоник,
любого (большого) числа гармоник (если есть возможность) ряда Фурье, которые совместить с графиками периодически продолженных функций.
8. Вычислить средние квадратические ошибки представления периодически продолженных функций рядом Фурье общего вида, по косинусам и по синусам.
9. Для всех трех случаев разложения функции в ряд Фурье определить амплитудные частотные спектры и построить их графики.
Введение
В математике и физике еще в работах Л. Эйлера и Ж.Л. Лагранжа в 18 веке широкое распространение получил метод разложения периодических функций в ряды по синусам и косинусам, названные тригонометрическими рядами. В 19 веке французский математик и физик Ж. Фурье впервые сформулировал основные требования к функциям, представляемым такими рядами, обеспечивающими их сходимость, заложив основы гармонического анализа. В дальнейшем теория гармонического анализа была развита в работах Дирихле, Гаусса, Римана, Чебышева, Винера, Пэли и других. В частности, гармонический анализ периодических функций был распространен на функции с бесконечным периодом, получивший название интеграла Фурье.
|
Впоследствии теория преобразования Фурье периодических и непериодических функций вышла далеко за пределы математических дисциплин, став мощной теоретической базой в ряде прикладных областей, таких как радиоэлектроника и радиотехника, теория систем, теория автоматического регулирования, теория сигналов и др.
I. Теоретическая часть
Гармонический анализ
Наиболее распространённым и важным для приложений примером периодических функций являются так называемые гармоники. Это функции вида
y = Asin(ωt +φ),
описывающие незатухающие гармонические колебания с амплитудой A, частотой ω и начальной фазой φ. Они могут быть также записаны в виде
y = asinωt + bcosωt.
Очевидно, период этих функций равен . Легко убедиться в том, что при сложении гармоник разной частоты график результирующей функции будет заметно отличаться по виду от графика каждой из составляющих.
На практике большое значение имеет задача: можно ли и при каких условиях разложить произвольную периодическую функцию f(x) с периодом T = 2π на сумму простых гармоник разной частоты, то есть представить её в виде суммы гармонических колебаний. Эта задача и составляет гармонический анализ.
Четные и нечетные функции
Функция y=f(x) называется четной, если она не изменяет своего значения при изменении знака аргумента, то есть f(-x)=f(x).
Функция y=f(x) называется нечетной, если при изменении знака аргумента знак функции меняется на противоположный, а её числовое значение сохраняется, то есть f(-x)=-f(x).
II. Практическая часть
Вывод
Таким образом, разложение в ряд Фурье упрощает вычисление значения функции, а в некоторых случаях, это единственный способ решения.
|
Исходя из выполненной нами курсовой работы, видно, что при увеличении количества сумм гармоник, ряд Фурье все больше, и больше приближается к исходной функции, а в точках разрыва первого рода значение функции численно равно среднему арифметическому между левым и правым пределом.
Погрешности вычислений в каждом из способов разложения функции в ряд Фурье указывают на то, что наиболее точный график получается при разложении по косинусам, так как 0.0363972441, 0.0914397582, 0.0286996531.
Список литературы
1. Власова Е.А. Ряды. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. – 612 с.
2. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. М.:АСТ: Астрель, 2005. – 654 с.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 2. М.: Наука, 1985. – 560 с.
4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс. М.: Айрис-пресс, 2011. – 608 с.
5. http://www.mathprofi.ru/
6. http://ru.wikipedia.org
7. http://www.math24.ru/definition-of-fourier-series.html
Задание
Гармонический анализ функции
1. Функцию f(x), заданную графически на промежутке (0,l), описать аналитически, а для функции f(x), заданной аналитически на промежутке (0,l), построить график.
2. Продолжить функцию f(x) произвольным, четным и нечетным образом на промежутке (-l,0) и построить графики периодически продолженных функций.
3. Проверить достаточные условия разложения периодически продолженных функций в тригонометрический ряд Фурье.
4. Найти коэффициенты Фурье и представить периодически продолженные функции рядом Фурье соответственно общего вида, по косинусам и по синусам.
5. Определить значение разложения функции в точках разрыва и на концах периодов.
6. Представить в аналитическом виде разложение функции в ряд Фурье для всех трех случаев продолжения.
7. Для всех трех случаев разложения функции построить графики сумм
0-й и 1-й гармоник
0-й, 1-й и 2-й гармоник,
0-й, 1-й, 2-й и 3-й гармоник,
любого (большого) числа гармоник (если есть возможность) ряда Фурье, которые совместить с графиками периодически продолженных функций.
8. Вычислить средние квадратические ошибки представления периодически продолженных функций рядом Фурье общего вида, по косинусам и по синусам.
9. Для всех трех случаев разложения функции в ряд Фурье определить амплитудные частотные спектры и построить их графики.
|
Введение
В математике и физике еще в работах Л. Эйлера и Ж.Л. Лагранжа в 18 веке широкое распространение получил метод разложения периодических функций в ряды по синусам и косинусам, названные тригонометрическими рядами. В 19 веке французский математик и физик Ж. Фурье впервые сформулировал основные требования к функциям, представляемым такими рядами, обеспечивающими их сходимость, заложив основы гармонического анализа. В дальнейшем теория гармонического анализа была развита в работах Дирихле, Гаусса, Римана, Чебышева, Винера, Пэли и других. В частности, гармонический анализ периодических функций был распространен на функции с бесконечным периодом, получивший название интеграла Фурье.
Впоследствии теория преобразования Фурье периодических и непериодических функций вышла далеко за пределы математических дисциплин, став мощной теоретической базой в ряде прикладных областей, таких как радиоэлектроника и радиотехника, теория систем, теория автоматического регулирования, теория сигналов и др.
I. Теоретическая часть
Гармонический анализ
Наиболее распространённым и важным для приложений примером периодических функций являются так называемые гармоники. Это функции вида
y = Asin(ωt +φ),
описывающие незатухающие гармонические колебания с амплитудой A, частотой ω и начальной фазой φ. Они могут быть также записаны в виде
y = asinωt + bcosωt.
Очевидно, период этих функций равен . Легко убедиться в том, что при сложении гармоник разной частоты график результирующей функции будет заметно отличаться по виду от графика каждой из составляющих.
На практике большое значение имеет задача: можно ли и при каких условиях разложить произвольную периодическую функцию f(x) с периодом T = 2π на сумму простых гармоник разной частоты, то есть представить её в виде суммы гармонических колебаний. Эта задача и составляет гармонический анализ.
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!