Устойчивость прямоугольных пластин, закрепленных по четырем сторонам при одноосном нагружении

А. Устойчивость пластины без ребер. Условие устойчи­вости пластины при продольном (одноосном) нагружении имеет вид:

(9.25)

 

где и — наибольшие сжимающие напряжения в пластине, вычисленные по нагрузкам II расчетного случая (п. 6.1) по правилам, принятым в СРДН или СРПС (п. 1.5.2) (поскольку в расчетах на устойчивость фи­гурируют только сжимающие напряжения, то в этих рас­четах они считаются положительными, для того чтобы условия устойчивости имели ту же форму, что и условия прочности); коэффициент у_п — см. табл. 1.3, причем при расчете элементов основных статически определимых кон­струкций следует принимать значение у_п для случая зна­чительных последствий повреждения; — мень­шие значения для тонких пластин (d/t> 100) при низкой степени достоверности моделирования напряженного со­стояния рассчитываемого элемента (см. табл. 7.1); у_т = 1.

В данном разделе рассмотрены методы расчета прямо­угольных пластин, все четыре кромки которых закрепле­ны от перемещения из плоскости пластины (рис. 9.10, а, закрепление обозначено штриховой линией). Две противо­положные кромки пластины загружаются линейно меня­ющимися по ширине пластины нормальными напряжени­ями, эпюры распределения которых описываются уравнением

где — наибольшее сжимающее напряжение на кром­ке у = 0; у= 1 - a_min/a_max — параметр нагружения; a_min — напряжение на кромке у = d (растягивающие напряжения считаются отрицательными); d — ширина пластины. На­пример, случай у = 0 соответствует равномерному сжатию, при у = 1 получим сочетание сжатия с изгибом, при кото-

ром напряжения на кромке у = dравны нулю, а приу = 2 — чистый изгиб (рис. 9.10, б).

Формулу для вычисления критического напряжения (МПа) удобно представить в следующем виде:

(9.27)

Где –критические напряжения для шарнирно опертой по контуру одноосно сжатой полосы толщиной t,шириной dи длиной а > d; ks — коэффициент устойчивости,отражающий влияние условий закрепления кромоки распределения напряжений по ширине пластины,

 

(9.28)

для алюминиевых сплавов , для титановых сплавов

Неравенство в (9.27) означает, что при получении значений в условии (9.25) следует принимать Коэффициент устойчивости при можно вычислить с помощью приближенного выражения

(9.29)

где = a/d; — коэффициент защемления, учитыва­ющий условия закрепления пластины по кромкам. Для пластин с коэффициент устойчивости

(9.30)

При коэффициент k_sследует вычислять по формуле (9.30), подставляя туда , а в выражение (9.27) вместо dподставлять d_s= 2d/y(здесь фактическое значение , рис. 9.10, в).

Пластины в составе реальной конструкции имеют не шарнирное опирание по кромкам, а упругое защемление, так как они связаны с соседними пластинами, пояса со стенками, стенки с поясами и т. д. Наибольшее значение имеет условие закрепления пластины по наиболее сжатойкромке. Если смежный элемент имеет больший запас устойчивости, чем рассчитываемая пластина, то эта связь повышает ее устойчивость, что и учитывается коэффици­ентом £_g, вычисляемым по формуле

(9.31)

Здесь — размеры сечения рассчитываемой пластины; — размеры сечения пластины, присоединенной к ее наиболее сжатой кромке (рис. 9.11, а, б). Для шарнирно опертой пластины = 1.

Если критическое напряжение, вычисленное по формуле (9.27), оказывается больше предела текучести: , то расчет на устойчивость теряет смысл, так как примене­ние формул (9.28)-(9.30), полученных для идеально упру­гого материала, становится некорректным, а выполнение условия прочности (7.1), (7.3) в этом случае гарантирует и обеспечение устойчивости. Найдем соотношение размеров, при котором это произойдет. Подставив в формулу (9.27), с учетом (9.28) найдем:

Здесь – вычисляется по формуле (9.29) или (9.30); где – предел текучести сьали Ст3 (принято ). Для практического примене­ния следует ужесточить это условие и считать

(9.32)

Из формулы (9.30) при получается, что устойчивость пластины гарантированно обеспечена, например:

(9.33)

Следует подчеркнуть, что невыполнение данных нера­венств вовсе не означает, что пластина потеряет устойчи­вость. В этом случае должен быть проведен расчет на мест­ную устойчивость по условиям (9.25) с учетом фактиче­ского уровня действующих напряжений.

Б. Устойчивость пластины с ребрами. Если условие устойчивости пластины не выполняется, то следует исполь­зовать один из двух путей: изменить геометрию пластины [увеличить толщину и (или) уменьшить ширину] либо уста­новить одно или несколько продольных ребер (рис. 9.12, а).

В обоих случаях после внесения изменений следует прове­сти повторную проверку устойчивости с новыми данными. Ребра могут быть односторонние или двусторонние (рис. 9.12, б—д), открытого (рис. 9.12, б, в) или замкнутого (рис. 9.12, г, д) сечений. Ребра замкнутого сечения более эффектив­ны. Ребра открытого сечения должны обладать местной устойчивостью [удовлетворять условию (9.49)]. Ребро долж­но иметь по возможности минимальную площадь сечения и достаточно большой момент инерции J_r, чтобы не те­рять устойчивость вместе с пластиной (рис. 9.13, а, б). В большинстве случаев оказывается достаточным устано­вить одно или два ребра.

Если устанавливается одно ребро, то оно размещается на расстоянии от наиболее сжатой границы плас­тины (рис. 9.12, а). Размер d₁выбирают так, чтобы запасы устойчивости отсеков, на которые ребро делит пласти­ну (панели 1 и 2), были примерно одинаковыми, иначе менее устойчивый отсек будет ограничивать несущую способность конструкции в целом (рис. 9.13, в, г). Оптимальное значение параметра можно найти по приближен­ной формуле

(9.34)

Устойчивость пластины с одним ребром, загруженной напряжениями (9.26), будет обеспечена в том случае, если выполняются следующие три условия.

1. Условие устойчивости пластины вместе с ребром, из которого находят требуемый момент инерции ребра, записывается как

 

(9.35)

Здесь

(9.36)

Рис. 9.13. Формы потери устойчивости пластины с ребрами при сжатии (а, в) и изгибе (б, г)

 

где — критическое напряжение для пластины без ребра по (9.27); J_r— момент инерции ребра, вычисляемый относительно оси z(см. рис. 9.12, б—д). Момент инерции принятого сечения ребра должен удов­летворять условию (9.35) и лежать в интервале

(9.37)

2. Устойчивость панели 1 (прилежащей к более сжатой кромке, рис. 9.12, а) проверяется по условию (9.25), в ко­тором критическое напряжение сг_с вычисляется по (9.27) при d= d₁и k_s= k_s1.Коэффициент k_s1находится по (9.30) как

где . Напряжения ад_Н и ст_пс равны . Коэффици­ент (9.31) учитывает условия защемления сжатой кромки пластины.

3. Условие устойчивости панели 2 также проверяется по (9.25), где напряжения и равны (рис. 9.12, а), а критическое напряжение ст_с вычисляется по (9.27) при .Эту величину находят как

Неравенство означает, что, если у₂ получается больше 2,то в расчете следует использовать [см. пояснения к формуле (9.30)]. Если ребро имеет от­крытое сечение, то коэффициент , для ребер закрыто­го сечения .

Устойчивость панелей 1 и 2 можно проверять также по условиям вида (9.32)

(9.37)

подставляя туда указанные значения .В тех случаях, когда условие устойчивости для двух панелей не обеспечивается из-за того, что пластина слиш­ком тонкая или имеется несколько вариантов ее нагруже­ния, при которых существенно меняется распределение напряжений по сечению, приходится устанавливать допол­нительные ребра.

Два ребра делят пластину на три панели. Рассмотрим типичную ситуацию, когда ребра размещаются симметрич­но относительно продольной оси пластины (рис. 9.14). В этом случае необходимо гарантировать выполнение ус­ловий устойчивости пластины с ребрами в целом и устой­чивости первой и второй панелей.

1. Условие устойчивости пластины с ребрами имеет вид (9.35), где

(9.39)

Отсюда определяется требуемый момент инерции сечения ребер, который должен удовлетворять условию (9.37).

2. Устойчивость панелей проверяется по условиям (9.38), но при вычислении k_s2используется

Проверки должны быть произведены для всех комбина­ций нагрузок. Если какое-либо условие не удовлетворено, то выполняется расчет панели на местную устойчивость по вышеизложенной методике.

Если, например, пластина загружена постоянным сжа­тием () и переменным изгибом () так, что в одной комбинации нагрузок реализуется эпюра 1, а в другой — 2 (рис. 9.14), то панели 1 и 2 будут иметь приблизительно одинаковый запас устойчивости, если расположить ребра на расстоянии

Поперечные ребра. Границами расчетной пластины, па­раллельными оси у, являются поперечные ребра или ди­афрагмы. Они устанавливаются для обеспечения неизме-

няемости сечения балки, повышения устойчивости стенок и восприятия местных поперечных нагрузок. Поперечное ребро должно иметь момент инерции относительно оси, лежащей в срединной плоскости пластины, который удов­летворяет условию

(9.40)

Поперечное ребро, установленное в зоне приложения местной поперечной нагрузки, должно удовлетворять ус­ловию местной устойчивости (9.49).