История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
 2018-01-05 |
 1441 |
из
5.00
|
Заказать работу |
|
|
|
|
В общем случае суммадвух определителей (или их разность) не может быть записана в виде одногоопределителя:
.
Эта сумма не может быть выражена через определители иначе, чем 
; например, она не может быть записана как 
.
2.3. Разложение определителя по элементам строки (столбца)
Рассмотрим квадратную матрицу любого порядка 
, где 
,
и её определитель.
Для вычисления такого определителя необходимо ввести понятие минора и алгебраического дополнения.
Определение. Минором элемента 
определителя 
порядка называется определитель 
порядка, полученный из исходного вычеркиванием 
строки и 
столбца (той строки и того столбца, на пересечении 
стоитэлемент ).
Минор элемента обозначается 
.
Здесь
первый индекс означает номер строки,
второй – номер столбца, которые вычеркиваются.
Например,
миноромэлемента 
определителя
будетопределитель 
.
В определителе 3-го порядка 
миноромэлемента 
являетсяопределитель 2-го порядка 
.
Миноромэлемента 
определителя 
является элемент 
(определитель 1-го порядка).
Определение. Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со знаком 
.
Алгебраическое дополнениеэлемента будем обозначать 
.
В соответствии с определением
. (2.11)
Для элементов, расположенных на главной диагонали, алгебраическое дополнение совпадает с минором:
.
Очевидно,
если сумма 
четная, то алгебраическое дополнение имеет тот же знак, что и минор;
если сумма 
нечетная, то знак изменится на противоположный знак.
Миноры двух соседних элементов строки (столбца) всегда приобретают противоположные знаки, т.к. при изменении 
или 
на одну единицу четность числа меняется.
|
|
Распределение знаков у миноров (для получения алгебраических дополнений) можно изобразить следующим образом:
| + | − | + | − |
| − | + | − | + |
| + | − | + | − |
| − | + | − | + |
Теорема 2. 1 (разложения). Определитель 3-го порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
▲ Для определителя 2-го порядка это утверждение следует из формулы (2.4).
Докажем, что оно верно и дляопределителя третьего порядка.
Преобразуя правую часть формулы (2.8),
обозначив её левую часть 
.
Т.к.
и
,
то
, (2.12)
где – определитель (2.8); 
– алгебраические дополненияэлементов 
. ▼
Формула (2.12) называется разложением определителя по элементам первой строки.
Аналогично получаются разложения соответственно по элементамдвух других строк и столбцов.
Пример 1. Найти миноры и алгебраические дополнения элементов второй строки определителя 
.
▲ В данном случае 
.
В соответствии с определениемминора получаем
.
По формуле (2.11) находим алгебраические дополнения
. ▼
Пример 2. Вычислить определитель 
, разложив его по элементам первой строки.
▲ По формуле (2.12) получаем
▼
Пример 3. Вычислить определитель 
, разложив его по элементам второго столбца.
▲ По теореме 2.11 получаем 
.
Далее, находим
;
;
откуда 
. ▼
Пример 4. Вычислить определитель 
, преобразовавего и разложив по элементам 1-го столбца.
▲ Производя соответствующие преобразования, находим
.
Второй определитель получен в результате следующих преобразований 1-го определителя:
Ø первая строкаумножена на (-2) и сложенасо второй (св-во 8);
Ø первая строкаумножена на (-1) и сложенас третьей (св-во 8).
Далее второй определительразложен по элементам 1-го столбца по формуле, аналогичной формуле (2.12)
(второе и третье слагаемое этой суммы в этом примере не выписаны; они равны нулю, ибо содержатнулевые множители).
Для наглядности, перечисленные выше операции, будем указывать стрелками. ▼
|
|
Теорема 2.2 (следствие из теоремы 1). Если все элементы 
строки (столбца) определителя 
, кроме одного, например , равны нулю, то определитель равен произведению элемента на его алгебраическое дополнение:
. (2.13)
Пример 5. Вычислить определитель 4-го порядка
,
разложив его по элементам 2-го столбца.
▲ Т.к. 
, то по формуле (2.13) получаем
,
откуда, снова разлагая полученный определитель 3-го порядкапо элементам 2-го столбца, находим
. ▼
Теорема 2. 3 (замещения). Пусть 
– определитель 3-го порядка. Сумма произведений алгебраических дополнений элементов какого-нибудь столбца (строки) на любые числа 
равна
определителю 
, который получается из данного определителя заменой указанного столбца (строки) столбцом (строкой) из чисел .
▲ Р ассмотрим определитель 3-го порядка и определитель , полученныйиз данного определителя заменой 1-го столбца столбцомиз чисел :
, (2.14)
На основании теоремы разложения 2.1
. ▼
Теорема 2. 4 (аннулирования). Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) определителя 3-го порядка на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.
▲ Пусть дан определитель (
(2.14)).
Докажем, например, что
,
т.е. сумма произведений элементов 1-го столбцана алгебраические дополненияэлементов 2-го столбцаравнанулю.
По теореме 2.3 (в данном случае 
) имеем
.
Поскольку этот определитель равен нулю (как содержащийдва одинаковых столбца), то . ▼
2.4. Определение определителя 
порядка
Чтобы подметить общее правило составленияопределителей матриц 
порядка, присмотримся внимательнее к определителям 2-го и 3-го порядков.
Отвлекаясь пока от знака, поставим вопрос: чем характеризуются произведения, входящие в состав определителя?
1. Прежде всего, замечаем, что число сомножителей в каждом произведении равно порядку матрицы.
2. Далее, если обратимся к какому-нибудь конкретному произведению, то увидим, что в нём сомножители взяты по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца.
3. Число различных произведений, из которых строится определитель матрицы 
, равно числу всех перестановок 
(
для определителя 2-го порядка),
(
для определителя 3-го порядка),
т.е. равно 
(
число произведений дляопределителя 2-го порядка) и
(
число произведений дляопределителя 3-го порядка).
|
|
Так обстоит дело дляопределителей 2-го и 3-го порядков, и в этом мы убеждаемся, анализируя определения первого раздела.
Естественно предположить, что мы получим разумное определениеопределителя 
порядка, если в его основу положим эту подмеченную закономерность.
Определение 1 (предварительное). Определителем матрицы порядка называется
сумма всех произведений элементов этой матрицы, взятых
по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца;
при этом каждое произведение снабжено знаком плюс или минус по некоторому правилу.
Предполагая, что есть матрица 4-го порядка, рассмотрим несколько примеров.
1. Произведения 
и 
не входят в определительматрицы , т.к. число сомножителей в них не равно порядку матрицы.
2. Произведение 
также не входит в определитель, т.к. два сомножителя, и 
, принадлежат одному и тому же (второму) столбцу.
3. Произведения 
и 
содержат множителипо одному из каждой строки и по одному из каждого столбца, – следовательно, они входят в составопределителя.
Замечание. Говоря об определителе матрицы, мы до сих пор предполагали, что порядок матрицы 
.
Ясно, что вполне допустимо рассматривать таблицу, состоящую лишь из одного числа, т.е. квадратную матрицу 1-го порядка. Применив определениеопределителя к этому случаю, мы легко увидим, что если 
, то 
, т.е. определитель матрицы 1-го порядка равен (единственному) элементу этой матрицы.
Определение 2. Определителем матрицы порядка называется число, вычисляемое по следующему правилу:
. (2.15)
Формула (2.15) выражает правило составления определителя 
порядка по элементам первой строки соответствующей матрицы и по алгебраическим дополнениям этих элементов, являющимся определителями 
порядка, взятыми с надлежащими знаками.
Из формулы (2.15)
получаем формулу (2.4) (по определению),
– формулу (2.12) (по теореме разложения).
Правило (2.15) дает возможность свести
Ø вычисленияопределителей матриц 4-го порядкак вычислениюопределителей матриц 3-го порядка,
Ø вычислениеопределителей матриц 5-го порядкак вычислениюопределителей матриц 4-го порядка и т.д.
Естественно, возникает вопрос,
|
|
нельзя ли использовать для получения величиныопределителяэлементыи соответствующие им миноры не первой, а любой строки матрицы,
а также вопрос о разложенииопределителяпо элементам любого столбца.
Ответ на эти вопросы дают две основные теоремы, приводимые здесь без доказательств.
Теорема 2. 5. Каков бы ни был номер строки 
для определителя порядка справедлива формула
,
называемая разложением этого определителя по строке.
Теорема 2. 6. Каков бы ни был номер столбца 
для определителя порядка справедлива формула
,
называемая разложением этого определителя по 
столбцу.
Отметим, что для определителей порядка 
также верны теоремы замещения и аннулирования.
Определители порядка обладают теми же свойствами, что и определители 2-го и 3-го порядков.
|
|
|
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!