Тема 5. Принятие решений в различных условиях

Тема посвящена выбору наилучших решений с учетом характера внешней среды и условиями, в которых принимается решение.

В зависимости от характера внешней среды можно выделить следующие группы условий, в которых могут приниматься решения:

- условие определенности;

- условие риска;

- условие неопределенности;

- условие активной внешней среды и конфликтной ситуации.

Принятие решений в условиях определенности характеризуется тем, что каждому решению всегда соответствует строго определенный результат.

Принятие решений в условиях риска заключается в том, что каждому решению соответствует не один результат, а некоторое множество результатов. Реализация одного из результатов зависит от некоторого множества причин. При этом считаются известными вероятности того, что причина влечет за собой результат.

Принятие решений в условиях неопределенности заключается в том, что каждому решению соответствует также множество результатов, но вероятности появления каждого результата неизвестны. Для принятия решений должен быть выбран некоторый оценочный критерий. Полезность решения определяется на основе платежной матрицы.

Принятие решений в условиях активной внешней среды состоит в том, что каждому решению соответствует результат, являющийся функцией действий, предпринимаемых активной внешней средой. Активность среды проявляется в сознательном, целенаправленном поведении, определяемом наличием у нее собственной цели. В общем случае цели системы и внешней среды могут не просто отличаться друг от друга, но и быть прямо противоположными (конфликтные ситуации).

Методические рекомендации:

а) занятия по данной теме проводятся в традиционной форме решения задач: самостоятельная работа, обзор характерных ошибок, анализ решения;

б) накануне занятия студентам рекомендуется ознакомиться с теоретическими разделами и литературой /1,2,10 /.

 

Задание 5.1

АО «Перспектива» и АО «Простор» планируют вложить капитал в ценные бумаги. У АО «Простор» собственных средств – 5000 тыс. руб., а сумма возможного убытка – 3500 тыс. руб. У АО «Перспектива» собственных средств 30 000 тыс. руб., а возможный убыток 12 000 тыс. руб. Найдите коэффициент риска для обоих предприятий, какое из них осуществляет менее рискованное вложение капитала?

Решение: Коэфф риска =возможный убыток / собств. средства

Коэфф риска АО «Простор»= 3500/5000=0,7

Коэфф риска АО «Перспектива»: 12000/30000=0,4

Ответ: у АО «Перспектива» риск наименьший.

 

Задание 5.2

При вложении капитала в мероприятие А из 200 случаев была получена прибыль: 250 тыс. руб. – в 20 случаях; 300 тыс. руб. – в 80 случаях; 400 тыс. руб. – в 100 случаях. При вложении капитала в мероприятие Б из 240 случаев была получена прибыль: 300 тыс. руб. – в 144 случаях; 350 тыс. руб. – в 72 случаях; 450 тыс. руб. – в 24 случаях.

Выбрать вариант вложения капитала исходя из средней ожидаемой прибыли.

Решение: Мероприятие А: (20*250т.+80*300+100*400)/200 = 345000 руб.

Мероприятие Б: (144*300+72*350+24*450)/240=330000руб.

Ответ: необходимо выбрать вариант вложения капитала в мероприятие А, т.к. ее средняя ожидаемая прибыль на 15000 руб. больше чем у мероприятия Б

 

Задание 5.3

На промышленном предприятии готовятся к переходу на выпуск новых видов продукции – товаров народного потребления. При этом возможны 4 решения Р1, Р2, Р3, Р4, каждому из которых соответствует определенный вид продукции. Результаты принятых решений существенно зависят от обстановки (степень обеспеченности производства материальными ресурсами, спрос на данный вид продукции на рынке и т.д.). Варианты обстановки могут быть 3-х видов: О1, О2, О3. Каждому сочетанию решений Р и обстановки О соответствует определенный выигрыш, помещаемый в клетку таблицы 5.1 на пересечении Р и О. Этот выигрыш характеризует определенную величину результата предстоящих действий по производству товаров. Так из этой таблицы видно, что при обстановке О1 решение Р2 в 2 раза лучше, чем решение Р3.

Таблица 5.1 - Эффективность выпуска товаров народного потребления

Варианты решений	Вариант обстановки
О1	О2	О3
Р1	0,25	0,35	0,40
Р2	0,75	0,20	0,30
Р3	0,35	0,82	0,20
Р4	0,80	0,10	0,35

 

Требуется найти решение, которое по сравнению с другими является наименее рискованным. При этом известна вероятность наступления каждого варианта обстановки: вероятность первого варианта обстановки: (О1) равна 0,5, второго (О2) – 0,3, третьего (О3) – 0,2.

 

Табл. 5.1.1 – Величина потерь при выпуске новых видов продукций

Варианты решений (Рi)	Варианты условий обстановки (Оi)
О1	О2	О3
Р1	0,55 (0,80-0,25)	0,47 (0,82-0,35)	(0,40-0,40)
Р2	0,05 (0,80-0,75)	0,62 (0,82-0,20)	0,10 (0,40-0,30)
Р3	0,45 (0,80-0,35)	(0,82-0,82)	0,20 (0,40-0,20)
Р4	(0,80-0,80)	0,72 (0,82-0,10)	0,05 (0,40-0,35)

Решение: R – показатель риска для каждого решения Р

βi=maxαij, hij=βi-αij, Ri=∑ hij*pj

R1 = 0,55 • 0,5 + 0,47 • 0,30 + 0,00 • 0,2 = 0,416

R2= 0,05 • 0,5 + 0,62 • 0,3 + 0,10 • 0,2 = 0,231

R3 = 0,45 • 0,5 + 0,00 • 0,3 + 0,30 • 0,2 = 0,285

R4 = 0,00 • 0,5 + 0,72 • 0,3 + 0,05 • 0,2 = 0,226 = min

Ответ: решение Р₄ для данных условий является наименее рискованным.

Задание 5.4

Исходя из условий предыдущей задачи, представленных в табл. 5.1, необходимо найти такую стратегию поведения (т.е. решение Р), которая по сравнению с другими является наиболее выгодной по критерию Вальда (максимина).

Решение

α=Max(i)Min(j)α_ij

Таблица 5.2 - Эффективность выпуска товаров народного потребления

Варианты решений	Вариант обстановки	Вальда max из min
О1	О2	О3
Р1	0,25	0,35	0,40	0,25= max
Р2	0,75	0,20	0,30	0,20
Р3	0,35	0,82	0,20	0,20
Р4	0,80	0,10	0,35	0,10

Ответ: исходя из значения критерия Вальда необходимо принять решение 1.

 

Задание 5.5

Исходя из условий задания 5.3, представленных в табл. 5.1, необходимо найти такое решение Р, которое по сравнению с другими является наиболее выгодным по критерию Сэвиджа (минимакса). Преобразовать матрицу выигрышей в матрицу потерь.

Решение

β_i=maxα_ij,

r_ij=β_i-α_ij,

r=Min(i)Max(j)r_ij

где r_ij, — потери, соответствующие i-му решению при j-м варианте обстановки.

Табл. 5.3 – Величина потерь при выпуске новых видов продукций

Варианты решений (Рi)	Варианты условий обстановки (Оi)	Сэвиджа min из max
О1	О2	О3
Р1	0,55 (0,80-0,25)	0,47 (0,82-0,35)	(0,40-0,40)	0,55
Р2	0,05 (0,80-0,75)	0,62 (0,82-0,20)	0,10 (0,40-0,30)	0,62
Р3	0,45 (0,80-0,35)	(0,82-0,82)	0,20 (0,40-0,20)	0,45= min
Р4	(0,80-0,80)	0,72 (0,82-0,10)	0,05 (0,40-0,35)	0,72

Ответ: исходя из значения критерия Сэвиджа необходимо принять решение 3.

 

Задание 5.6

Исходя из условий задания 5.3, представленных в табл. 5.1, найти наиболее выгодные решения по критерию Гурвица при коэффициенте равном 0; 0,25; 1,0.

Решение

аij — выигрыш, соответствующий i-му решению при j-м варианте обстановки.

— коэфф-т, рассматриваемый как показатель оптимизма

Таблица 5.4 - Эффективность выпуска товаров народного потребления

Варианты решений	Вариант обстановки
О1	О2	О3
Р1	0,25	0,35	0,40
Р2	0,75	0,20	0,30
Р3	0,35	0,82	0,20
Р4	0,80	0,10	0,35

 

Пусть =0,тогда

G(Р1)=(0 *0,25+(1-0)*0,4)=0,4

G(Р2)=(0*0,20+(1-0)*0,75)=0,75

G(Р3)=(0*0,20+(1-0)*0,82)=0,82

G(Р4)=(0*0,10+(1-0)*0,8)=0,8

Max=0,82, следовательно решение 3

 

Пусть =0,25 тогда

G(Р1)=(0,25 *0,25+(1-0,25)*0,4)=0,3625

G(Р2)=(0,25*0,20+(1-0,25)*0,75)=0,6125

G(Р3)=(0,25*0,20+(1-0,25)*0,82)=0,665

G(Р4)=(0,25*0,10+(1-0,25)*0,8)=0,625

Max=0,665, следовательно участок решение 3

Пусть =1 тогда

G(Р1)=(1 *0,25+(1-1)*0,4)=0,25

G(Р2)=(1*0,20+(1-1)*0,75)=0,20

G(Р3)=(1*0,20+(1-1)*0,82)=0,20

G(Р4)=(1*0,10+(1-1)*0,8)=0,10

Max=0,25, следовательно участок решение 1

Ответ: исходя из значения критерия Гурвица при =0 и 0,25 необходимо принять решение 3, а при =1 – решение 1.

 

Задание 5.7

Ваше предприятие столкнулось с некоторыми проблемами в области реализации готовой продукции. Вы, как руководитель предприятия, предполагаете влияние на данную ситуацию двух причин: либо появление проблемы по вине службы сбыта, либо по вине службы маркетинга. Вероятность ошибки службы сбыта Р(С)=0,3, службы маркетинга Р(М).

Если Вы решите исправлять ситуацию собственными силами, и окажется, что имеет место ошибка службы сбыта, то успех Вам гарантирован с вероятностью 0,6; при ошибке службы маркетинга Вы достигнете успеха с вероятностью 0,4. Если пригласите консультанта, то в 1-й ситуации вероятность успеха будет 0,1, а во 2-й – 0,9. Как лучше поступить?

Решение

Сам: Р=0,3*0,6+0,7*0,4=0,46

Консультант: Р=0,3*0,1+0,7*0,9=0,66

Ответ: необходимо вызвать консультанта, т.к. вероятность его успеха выше.

 

Задание 5.8

Сельскохозяйственное предприятие имеет 3 участка земли: влажный А1, средней влажности А2 и сухой А3. Один из этих участков предполагается использовать для выращивания картофеля, все остальные - для посева зеленой массы. Известно, что для получения хорошего урожая картофеля требуется определенное количество влаги в почве в период вегетации. При излишней влажности посаженный картофель на некоторых участках может гнить, а при недостаточном количестве осадков будет плохо развиваться, что приводит к снижению урожайности. Требуется определить, на каком участке сеять картофель, чтобы получить хороший урожай, если известна средняя урожайность картофеля на каждом участке в зависимости от погодных условий. На участке А1 урожайность составляет 270, 210 и 120 ц с 1 гектара при выпадении соответственно меньше нормы, нормального количества осадков и больше нормы. Аналогично на участке А2 − 220, 250 и 140 ц, а на А3 − 120, 230 и 250 ц.

Построить платежную матрицу. Решить задачу по критерию Вальда (максимина).

Решение

Пусть А1-повышенной влажности, А2-средней влажности, А3-сухой. Погодные условия П1-осадков меньше нормы, П2-норма, П3-осадков больше нормы.

α=Max(i)Min(j)α_ij

Табл.5.5 – Платежная матрица

	П1	П2	П3	Вальд max из min
А1
А2
А3

Ответ макс=140 следовательно чтобы получить хороший урожай необходимо сеять картофель на участке 2.

 

 

Задание 5.9

На основании условий предыдущей задачи произвести пересчет матрицы выигрышей в матрицу рисков. Элементы матрицы рисков, соответствующие стратегиям риска, характеризуют общую благоприятность или неблагоприятность для отдельных состояний природы. Решить задачу по критерию Сэвиджа (минимакса).

Решение

β_i=maxα_ij,

r_ij=β_i-α_ij,

r=Min(i)Max(j)r_ij

Табл.5.6 – Матрица потерь

	П1	П2	П3	max	Сэвидж min из max
А1	270-270	250-210	250-120
А2	270-220	250-250	250-140
А3	270-120	250-230	250-250

Ответ мин=110 следовательно чтобы получить хороший урожай необходимо сеять картофель на участке 2.

Задание 5.10

Владельцу груза приходится выбирать из 2-х альтернатив: страховать или не страховать перевозимый груз. Риск заключается в том, что возможна катастрофа с вероятностью 0,1, в результате которой груз будет утрачен.

Полезность исхода определяется владельцем груза следующим образом: если груз застрахован, то в случае его утраты владелец получает страховую компенсацию в размере 100 ДЕ; если же катастрофы не было, то он теряет 5 ДЕ, потраченных на страховой полис; если груз не застрахован, в случае катастрофы теряется его стоимость – 95 ДЕ. При благополучном же исходе владелец может распорядиться суммой 5 ДЕ, сэкономленной на страховом полисе. Страховать или не страховать перевозимый груз?

Решение:

Если страховать: Р=0,1*100+0,9*(-5)=5,5

Если не страховать: Р=0,1*(-95)+0,9*5=-5

Ответ: страховать

 

Задание 5.11

Руководство универмага заказывает товар вида А. Известно, что спрос на данный товар лежит в пределах от 6 до 9 ед. Если заказанного товара окажется недостаточно для удовлетворения спроса, то руководство может срочно заказать и завести недостающее количество. Если же спрос будет меньше наличного количества товара, то нереализованный товар хранится на складе универмага.

Требуется определить такой объем заказа на товар, при котором дополнительные затраты, связанные с хранением и срочным завозом были бы минимальными, если расходы на хранение единицы товара составляют Зхр =2 руб., а по срочному заказу и завозу – Ззав = 1 руб.

Решение: П-покупательский спрос (обстановка), А-предложение товара (решение). Строится матрица (Вальда).

	П1=6	П2=7	П3=8	П4=9	min
А1=6		-1	-2	-3	-3
А2=7	-2		-1	-2	-2(max)
А3=8	-4	-2		-1	-4
А4=9	-6	-4	-2		-6

Ответ: необходимо заказать 7 единиц товара.

 

Контрольные вопросы

1. Случайные события и величины. Их числовые характеристики.

2. Формулы полной вероятности и умножения вероятностей.

3. Чем отличается принятие решений в условиях неопределенности и риска?

4. Как определяется степень риска и ожидаемый результат?

5. Что собой представляют платежная матрица и матрица рисков?

6. в чем суть теории полезности при принятии решений в условиях риска?

7. Поясните содержательный смысл критериев нахождения оптимального решения в условиях неопределенности (Вальда, Сэвиджа, Гурвица).