Глава V. Введение в математический анализ

Лекция №12

ГЛАВА V. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

§ 1. Понятие функции. Способы задания функции. Обратная функция

 

I. Определение. Пусть даны два непустых множества D и E.

x

D

f

y

E

 

 

def. Если каждому элементу по определенному правилу (закону) f ставится в соответствие единственный элемент , то говорят, что на множестве D задана функция

Если D и E – числовые множества то числовая функция.

Принята следующая терминология:

x – независимая переменная или аргумент;

y – зависимая переменная;

D – область определения функции;

Е – множество значений функции.

Если каждому элементу соответствует не одно, а несколько значений , то получим многозначную функцию (не рассматриваем).

Под функцией будем понимать однозначную числовую функцию.

При конкретном значении аргумента получим частное значение функции или .

 

II. Способы задания функции

1. Аналитический. Явное и неявное задание функции

Функция задается аналитическим выражением, т.е. формулой.

Пример 1.1. а) б)

Нельзя отождествлять функцию и формулу: с помощью одной формулы можно задать различные функции (указывая различные области определения), и наоборот, одна функция может быть задана несколькими формулами.

явное задание функции.

Пример1.2.

неявное задание функции.

Пример 1.3. а)

б) (здесь можно перейти к явному).

Преимущества: удобно изучать свойства. Недостатки: малая наглядность.

1. Табличный

В таблице указывается в определенном порядке значения аргумента и соответствующие значения функции.

x	x1	x2	…	xn
y	y1	y2	…	yn

Пример1.4. Таблицы тригонометрических функций.
Преимущества: Без вычислений находятся соответствующие значения функции.

Недостатки: не можем получить значений y, неуказанных в таблице.

1. Графический

Функция представляется графиком.

Пример1.5. Графики, полученные с помощью самопишущих приборов, например, электрокардиограмма (кривая изменения электрических импульсов сердечной мышцы, вычерчиваемая электрокардиографом); барограммы (кривые зависимости между давлением и временем в метеорологии).

Преимущества: наглядность.

Недостатки: неточность, неудобен при применении математического аппарата.

1. Программный

Функция задается с помощью указания программы на одном из машинных языков.

III. Обратная функция

Функция является отображением .

Рассмотрим взаимнооднозначное отображение (взаимно однозначную функцию).

взаимно однозначная функция.

x

y

ед. и обратно, ед. ).

Пример 1.6.

 

а) - взаимно однозначная функция

(отображение)

 

 

x

y

 

б) не является взаимно однозначной.

 

Пусть () – взаимно однозначное отображение. Значит, ставится в соответствие ед. . Тогда говорят, что на множестве Е определена функция, обратная функции , которая обозначается

 

Теорема. Если монотонная функция (возрастает или убывает), то существует обратная функция . При этом, если f – возрастающая, то f^-1 – возрастающая; если f – убывающая, то и f^--1 – убывающая.

 

Пример 2.1.

 

1)			x 6x x1 x2 x3 4 2
2)			x 2x x3 x2 x1 1\4 x4 0
3)			x -1 x2,x4,.. 1\4 x1,x3,… 0     x 4\4 x1,x2,x3,…
4)

I. Определение предела

Рассмотрим упорядоченную переменную, значения которой образуют числовую последовательность

Пример3.1.

x

2 \4

x3

1 \4

2\4

x1

x2

2\4

Значения переменной приближаются к 1, сгущаются около 1 (но никогда не примет значение, равное 1).

def. Число а называется пределом переменной (пределом числовой последовательности), если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такой номер N, зависящий от , что для всех значений , у которых n>N, будет выполняться неравенство

Обозначают: или при

Определение предела на языке символов:

 

Ограниченная переменная

def. Переменная называется ограниченной, если все ее значения по абсолютной величине не превосходят некоторого положительного числа М, т.е. для .

Теорема. Если переменная имеет конечный предел, то она ограниченная.

Замечание. Обратная теорема не верна.

Например, - ограниченная, т.к. но предела не имеет.

 

 

Бесконечно малые величины

I. Определение

def 1. Переменная величина называется бесконечно малой, если ее предел равен 0, т.е.

def 2. Переменная величина называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε найдется такой номер , что для всех значений , у которых номер , будет выполняться

бесконечно малая ,

Бесконечно малые (б. м.) величины обозначают: .

Пример 5.1. а) б) бесконечно малые;

в) малая величина, но не является беск-но малой, т.к. постоянная.

Термин «бесконечно малая» не сосем удачный, т.к. величина в процессе изменения становится малой.Единственное число 0 является бесконечно малой.

 

Пример 6.1.

1) ;2) ;3) ;

4) колоссальная величина, но постоянна, не стремится к

 

Термин « стремится к бесконечности» неточен: никуда не стремится, ни к какому числу, а изменяется так, что перерастает любое положительное число.

Предел функции

Первый замечательный предел

Функция не определена при .

Рассмотрим и докажем, что

первый замечательный предел.

Доказательство:

 

 

Пример 12.1.

 

 

Пример 12.2.

 

 

Второй замечательный предел

Рассмотрим переменную

…………………….

Значения возрастают. Можно доказать, что

Переменная возрастает и ограничена сверху. По 1-му признаку существования переменной существует предел , а именно

.

Логарифмы по основанию е называются натуральными и обозначаются

Докажем, что второй замечательный предел.

Неопределенность вида .

Доказательство.

и принимает целые и дробные, положит-ые и отрицат-ые значения.

Рассмотрим случай, когда . Для любого положительного числа имеет место неравенство (*) (можно считать, что

Перейдем к обратным величинам

прибавим по 1,

или .

Возведем в степени с показателями из (*). Неравенство усилится

 

Найдем пределы крайних членов неравенства ().

 

По теореме о сжатой переменной

Можно доказать, что

 

Таким образом, второй замечательный предел.

Положим тогда . Если то

другая форма второго замечательного предела.

 

Пример 13.1.

 

 

Пример 13.2.

 

Пример 13.3.

 

Таблица эквивалентных бесконечно малых

1.

2.

3.

4. где б. м. при

5.

6.

7.

Свойства

1. Предел отношения двух б. м. не изменится, если каждую или только одну заменить эквивалентной бесконечно малой.

где

 

2. Если , то .

3. Алгебраическая сумм бесконечно малых различных порядков эквивалентна слагаемому более низкого порядка малости.

Пример. т. к.

 

Лекция №12

ГЛАВА V. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

§ 1. Понятие функции. Способы задания функции. Обратная функция

 

I. Определение. Пусть даны два непустых множества D и E.

x

D

f

y

E

 

 

def. Если каждому элементу по определенному правилу (закону) f ставится в соответствие единственный элемент , то говорят, что на множестве D задана функция

Если D и E – числовые множества то числовая функция.

Принята следующая терминология:

x – независимая переменная или аргумент;

y – зависимая переменная;

D – область определения функции;

Е – множество значений функции.

Если каждому элементу соответствует не одно, а несколько значений , то получим многозначную функцию (не рассматриваем).

Под функцией будем понимать однозначную числовую функцию.

При конкретном значении аргумента получим частное значение функции или .

 

II. Способы задания функции

1. Аналитический. Явное и неявное задание функции

Функция задается аналитическим выражением, т.е. формулой.

Пример 1.1. а) б)

Нельзя отождествлять функцию и формулу: с помощью одной формулы можно задать различные функции (указывая различные области определения), и наоборот, одна функция может быть задана несколькими формулами.

явное задание функции.

Пример1.2.

неявное задание функции.

Пример 1.3. а)

б) (здесь можно перейти к явному).

Преимущества: удобно изучать свойства. Недостатки: малая наглядность.

1. Табличный

В таблице указывается в определенном порядке значения аргумента и соответствующие значения функции.

x	x1	x2	…	xn
y	y1	y2	…	yn

Пример1.4. Таблицы тригонометрических функций.
Преимущества: Без вычислений находятся соответствующие значения функции.

Недостатки: не можем получить значений y, неуказанных в таблице.

1. Графический

Функция представляется графиком.

Пример1.5. Графики, полученные с помощью самопишущих приборов, например, электрокардиограмма (кривая изменения электрических импульсов сердечной мышцы, вычерчиваемая электрокардиографом); барограммы (кривые зависимости между давлением и временем в метеорологии).

Преимущества: наглядность.

Недостатки: неточность, неудобен при применении математического аппарата.

1. Программный

Функция задается с помощью указания программы на одном из машинных языков.

III. Обратная функция

Функция является отображением .

Рассмотрим взаимнооднозначное отображение (взаимно однозначную функцию).

взаимно однозначная функция.

x

y

ед. и обратно, ед. ).

Пример 1.6.

 

а) - взаимно однозначная функция

(отображение)

 

 

x

y

 

б) не является взаимно однозначной.

 

Пусть () – взаимно однозначное отображение. Значит, ставится в соответствие ед. . Тогда говорят, что на множестве Е определена функция, обратная функции , которая обозначается

 

Теорема. Если монотонная функция (возрастает или убывает), то существует обратная функция . При этом, если f – возрастающая, то f^-1 – возрастающая; если f – убывающая, то и f^--1 – убывающая.