Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2018-01-07 | 817 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Даны векторы ={ ax, ay, az } и ={ bx, by, bz }.
1. ( ± )={ ax ± bx, ay ± by, az ± bz }.
2. l = { lax, lay, laz }, где l – скаляр.
Скалярное произведение векторов.
Определение: Под скалярным произведением двух векторов и
понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. = , - угол между векторами и .
Свойства скалярного произведения:
1. × =
2. ( + ) =
3.
4.
5. , где – скаляры.
6. два вектора перпендикулярны (ортогональны), если .
7. тогда и только тогда, когда .
Скалярное произведение в координатной форме имеет вид: , где и .
Пример: Найти скалярное произведение векторов и
Решение:
Векторное проведение векторов.
Определение: Под векторным произведением двух векторов и понимается вектор, для которого:
-модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е. , где угол между векторами и
-этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т.е.
-если векторы неколлинеарны, то они образуют правую тройку векторов.
Свойства векторного произведения:
1.При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т.е.
2. Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е.
3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е.
4. Для любых трех векторов справедливо равенство
5. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов и :
Векторное произведение в координатной форме.
Если известны координаты векторов и , то их векторное произведение находится по формуле:
.
Тогда из определения векторного произведения следует, что площадь параллелограмма, построенного на векторах и , вычисляется по формуле:
|
Пример: Вычислить площадь треугольника с вершинами (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1).
Решение: .
, , тогда площадь треугольника АВС будет вычисляться следующим образом:
,
Смешанное произведение векторов.
Определение: Смешанным (векторно-скалярным) произведением векторов называется число, определяемое по формуле: .
Свойства смешанного произведения:
1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е. .
2. При перестановке двух соседних сомножителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е. .
3. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов : =0.
4. Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку, т.е. .
Если известны координаты векторов , то смешанное произведение находится по формуле:
Пример: Вычислить смешанное произведение векторов .
Решение:
Базис системы векторов.
Определение. Под системой векторов понимают несколько векторов, принадлежащих одному и тому же пространству R.
Замечание. Если система состоит из конечного числа векторов, то их обозначают одной и той же буквой с разными индексами.
Пример.
Определение. Любой вектор вида = называется линейной комбинацией векторов . Числа - коэффициентами линейной комбинации.
Пример. .
Определение. Если вектор является линейной комбинацией векторов , то говорят, что вектор линейно выражается через векторы .
Определение. Система векторов называется линейно-независимой, если ни один вектор системы не может быть как линейная комбинация остальных векторов. В противном случае систему называют линейно-зависимой.
Пример. Система векторов линейно-зависима, т. к. вектор .
Определение базиса. Система векторов образует базис, если:
|
1) она линейно-независима,
2) любой вектор пространства через нее линейно выражается.
Пример 1. Базис пространства : .
2. В системе векторов базисом являются векторы: , т.к. линейно выражается через векторы .
Замечание. Чтобы найти базис данной системы векторов необходимо:
1) записать координаты векторов в матрицу,
2) с помощью элементарных преобразований привести матрицу к треугольному виду,
3) ненулевые строки матрицы будут являться базисом системы,
4) количество векторов в базисе равно рангу матрицы.
|
|
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!