Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2018-01-03 | 335 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Какая сила должна действовать на систему, чтобы колебания были гармоническими? Так как для гармонических колебаний уравнение, связывающее ускорение и координату материальной точки выглядят как
а = - w 2·х,
то согласно II закону Ньютона справедливо следующее равенство:
F = m· a = - m· w 2· х = - k· x, (10.1)
где k - постоянная величина.
Итак, тело совершает гармонические колебания, если сила, возвращающая его в положение равновесия, пропорциональна смещению и направлена в противоположную этому смещению сторону.
Такая сила называется квазиупругой.
На практике зависимость F(x) является более сложной. Однако, при малых значениях величины х эту функцию можно разложить в ряд:
| F (x)| = k·x + k1·x2 + k2·x3 +...
и пренебречь слагаемыми более высокого, чем 1 порядка малости. Следовательно, любая система с одной степенью свободы при достаточно малом отклонении от положения равновесия будет гармонически колебаться.
Рис. 10.1.
Уравнение динамики собственных колебаний. Рассмотрим колебания груза на пружине, считая, что вся масса сосредоточена в грузе, а упругость - в пружине. При х = 0 пружина не деформирована (см. рис. 10.1). Предположим, что сила трения в системе отсутствует Fтр = 0. В случае смещения тела от положения равновесия возникает сила упругости, действующая на тело и стремящаяся возвратить его в положение равновесия. Поскольку при малых деформациях х эта сила равна F = - k·x, то уравнение динамики движения груза согласно II закону Ньютона можно записать в виде:
m·a = - k·x. (10.2)
Поскольку ускорение - есть вторая производная от координаты по времени, то решив дифференциальное уравнение (10.2), найдем зависимость x(t). В теории дифференциальных уравнений показано, что общим решением уравнений типа x'' + w0 2·x = 0 выражается зависимостью вида: x = A·cos(w0 ·t + f0).
|
Можно рассуждать также следующим образом. Из (10.2) имеем, что для гармонических колебаний a = - w0 2·x, т.е. ускорение а пропорционально х и направлено в противоположную к нему сторону. Следовательно, колебания груза в случае выполнения условия (10.2) являются гармоническими и описываются уравнением:
x = A·cos(w0 ·t + f0), (10.3)
где w0 = (k/m)1/2 - собственная частота колебаний.
Значение w0 зависит только от физических свойств системы и не зависит от начальных условий.
Расчет параметров собственных колебаний. Амплитуда A и начальная фаза f0, называемые параметрами колебаний, не зависят от свойств системы, а определяются только начальными условиями, т.е. значением смещения и скорости в начальный момент времени:
x(0) = x0; u(0) = u0.
Задав x0 и u0, получим два уравнения для расчета амплитуды и начальной фазы:
x0 = A·sin f0; (10.4)
u0 = A· w0 ·cos f0. (10.5)
Уравнения (10.4) и (10.5) задают значения A и f0.
A = (x02 + u02/ w0 2)1/2;
tg f0 = x0· w0 /u0.
Рис. 10.2. Крутильные колебания.
Примеры собственных колебаний.
Крутильные колебания (см. рис. 10.2). Пусть y - угловая координата, I - момент инерции, K - модуль кручения. Уравнение динамики крутильных колебаний имеет вид:
I·e = - K·y или
y'' = - K·y/I. (10.6)
Сравнивая уравнения (10.6) и (10.1), видим, что они аналогичны. Следовательно, решение уравнения (10.6) имеет вид гармонической функции:
y(t) = ymax·sin((K/I)1/2·t + f0).
Рис. 10.3. Колебания физического маятника.
Физический маятник (см. рис. 10.3). Физическим маятником называется система, способная совершать колебания около положения равновесия, при этом массу системы нельзя считать сосредоточенной в одной точке. Введем обозначения: O - точка вращения; С - положение центра масс маятника; l - его длина; j - угол отклонения от положения равновесия. Уравнение динамики вращательного движения для физического маятника в проекции на ось вращения в случае его малых колебаний запишем в виде:
Mz = I·j'' = - m·g· l ·sin j = - m·g· l ·j.
|
Решение этого уравнения имеет следующий вид:
j(t) = jmax·sin(w 0·t + f0),
где w 0 = (m·g· l /I)1/2.
Для математического маятника момент инерции и значение собственной частоты колебаний будут равны:
I = m·l2 и
w 0 = (g/ l)1/2.
Собственную частоту физического маятника можно представить в виде, аналогичном выражению для математического маятника:
w 0 = (g/lприв)1/2,
где lприв = I/(m·l) - приведенная длина маятника.
Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.
Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.
Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону: .
|
|
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!