Аналитические зависимости между показателями безотказности

Вероятность отказов q(t) определяется выражением q t = p(t < t).

С другой стороны, выражение p (t0 < t)по определению функции распределения есть не что иное как функцияраспределения времени до отказа:

q (t) = F (t).

Тогда, Учитывая, что p(t) = 1-q(t), получим

Отсюда следует, что

Подставим значение плотности вероятности отказов в выражение интенсивности отказов:

В результате получится дифференциальное уравнение относительно вероятности безотказной работы:

Эта важная зависимость широко используется в теории надёжности. Она является обобщённым законом надёжности невосстанавливаемых ТУ в дифференциальной форме. Результатом интегрирования этого уравнения будет

Откуда

 

Проведём аналогичные преобразования для среднего времени безотказной работы:

или

 

Интегрируем полученное выражение по частям: Поэтому

Это выражение связывает среднюю наработку до отказа с вероятностью безотказной работы. Отсюда следует, что средняя наработка до отказа равна площади под кривой вероятности безопасной работы. Необходимо учитывать, что приведённые показатели надёжности относятся к работоспособным объектам, включённым в работу в нулевой момент времени. Рассмотрим более подробно период нормальной эксплуатации. В этот период в основном имеют место внезапные отказы. Они, имея случайный характер происхождения, подчиняют закону распределения, вытекающему из условий постоянства интенсивности отказов. Поэтому для этого периода можно считать, что интенсивность отказов является практически постоянной величиной, т.е. l(t) = const = l. В связи с этим основные зависимости примут вид:

Полученное выражение для p(t) называют экспоненциальным законом надёжности. В период нормальной эксплуатации поток отказов является простейшим. Принимая во внимание последнее выражение, получим При t = T вероятность безотказной работы будет равна

Это говорит о том, что для обеспечения высокого уровня надёжности невосстанавливаемых ТУ следует выбирать срок их службы намного меньший, чем среднее время безотказной работы. Так, например, если t / T = 0,1, то p(t) = 0,9, или сокращение срока службы в 10 раз ведёт к увеличению вероятности безотказной работы приблизительно в 2,4 раза.

Если срок службы ТУ во много раз меньше среднего времени безотказной работы, то характеристики надёжности удобно рассчитывать по упрощённым формулам. Разлагая выражение в ряд и принимая во внимание только первый член этого ряда, получим:

Эти формулы дают хорошее приближение при lt< 0,1. При экспоненциальном законе распределения вероятность может быть переписана в следующем виде:

где ()tbtae-l - есть безусловная вероятность безотказной работы ТУ в интервале времени () bat -t. Таким образом, в период нормальной эксплуатации вероятность безотказной работы в течение некоторого времени совершенно не зависит от величины наработки данного ТУ, предшествующего отрезку этого времени

Показатели долговечности.

Средний ресурс – мат. ожидание ресурса. Среднийрес. – мат. ожидание ресурса объекта.

Гамма-процентный рес. - наработка, в течение которой объект не достигает предельного состояния с заданной вероятностью, выраженной в %.

 

Гамма-процентный срок службы - календарная продолжительность эксплуатации, в теч. кот.объект не достигает предельного состояния с заданной вероятностью, выраженной в %.

 

Средний срок службы – матем. ожидание срока службы объекта. Стандартом установлены временные понятия: назначенный ресурс (срок службы) объекта и остаточный ресурс.

 

Назнач. ресурс - суммарная наработка, при достижении которой эксплуат. объекта должна быть прекращена независимо от его тех.сост. Аналогично определяются понятия “назначенный срок службы”, “назначенный срок хранения”. По истечении назн. р. объект должен быть изъят из эксплуат., и должно быть принято решение, предусмотр. соответствующей нормативно-технической документацией - направление в ремонт, списание, уничтожение, проверка и установление нового назначенного срока (ресурса) и т.д.Указанные временные понятия применяются по отношению к объектам, пред. сост. которых приводят к большим эконом.потерям, угрожают безопасности человека или приводят к вредному воздействию на окружающую среду.

 

Остаточный ресурс (остаточ. срок службы) - суммарная наработка (календарная продол-тьэксплуат.) объекта от момента контроля его тех. сост. до перехода в пред.сост.