Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-12-21 | 1064 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
s = s (t), (10)
где s - дуговая координата, отсчитываемая от выбранного начала отсчета на траектории. Знак s определяют в соответствии с выбранным направлением отсчета дуг.
При задании движения точки естественным способом ее скорость находят по формуле
, (11)
где -единичный вектор касательной, направленный в сторону возрастающих значений дуговой координаты s.
Скорость точки как алгебраическую величину определяют по формуле
. (12)
При v > 0 точка движется в сторону возрастающих, а при v < 0 - в сторону убывающих значений s.
Если известна зависимость v = v (t), то дуговую координату находят по формуле
, (13)
где s 0 - значение дуговой координаты при t = 0.
Если начало отсчета дуг совпадает с начальным положением точки, то s 0 = 0, и тогда
. (14)
Так как движущаяся точка может изменить направление движения по траектории, то путь σ, пройденный точкой за промежуток времени (0, t), определяют как сумму длин дуг отдельных участков, на каждом из которых скорость v сохраняет свой знак.
Таким образом,
σ = |s 1 - s 0 | + |s 2 - s 1 | +... + |s - sn|. (15)
где s 1, s 2,.... sп - значения дуговой координаты в моменты времени t 1, t 2, …tn,в которые скорость v изменяет свой знак.
Пример 1. Нерастяжимый трос сматывается с неподвижного барабана радиусом R, все время оставаясь в натянутом состоянии (рис. 20). Определить уравнение движения по траектории точки троса, находившейся в начальный момент времени на барабане, если угол φ, определяющий положение радиуса, проведенного в точку N схода троса, задан каквозрастающая функция времени(φ > 0).
Решение. Проведем ось Ох через центр барабана и начальное положение рассматриваемой точки
Рис. 20 Му. В силу нерастяжимости троса длина смотанного конца равна длине соответствующей дуги барабана, т. е. NM = = Rφ.
|
Из рисунка найдем
X = ON cos φ + NM sin φ = R cos φ + R φ sin φ;
y = - ON sin φ + NM cos φ = - R sin φ - Rφ cos φ.
При сматывании троса угол φ = φ (t), следовательно, эти уравнения являются уравнениями движения точки М.
Найдем проекции скорости точки на выбранные оси:
;
,
следовательно,
.
Считая, что φ = 0, s = 0 при t = 0, по формуле (14) найдем
.
Если вместо φ подставить известную функцию φ = φ (t), то
,
т. е. получим уравнение движения точки по траектории.
Пример 2. Движение точки по траектории задано уравнением (s - в метрах, t - в секундах). Определить значение дуговой координаты s в момент t = 15 с и путь σ, пройденный точкой за первые 15 с.
Решение. Определим скорость точки
.
Найдем моменты времени t 1, t 2,…, в которые скорость точки изменяет свой знак:
,
откуда tn +1 = (-l) n +6 n с (п = 0;1; 2;...).
Следовательно, в течение первых 15 с скорость изменяет свой знак в моменты времени: t 1= l с, t 2 = 5 с, t 3 = 13 с.
Определим значения дуговой координаты s вэти моменты времени, а также в момент
t 0 = 0 и в момент t 4 = 15 с:
s 0 = 12 м;
м;
м;
м;
м.
Пользуясь формулой (15), найдем путь, пройденный точкой за первые 15 с:
П = |π+6√З-l2| + |5π-6√3-π-6√3| + |13π+6√3-5π+6√3 | +
+|15π-13π-6√3| = 59,7 м.
Пример 3. Определить уравнение движения точки по траектории, если даны ее уравнения движения в декартовых координатах:
х = а (2 cos t + cos 2 t), y = a (2sin t— sin 2 t), 0 ≤ t ≤ .
Дуговую координату отсчитывать от начального положения точки в сторону первоначального движения.
Решение. Заданные уравнения представляют собой параметрические уравнения гипоциклоиды, т. е. линии, которую описывает точка окружности радиусом а, катящейся внутри окружности радиусом 3 а, причем t равно углу поворота линии центров от ее начального положения.
Для определения s найдем v (t):
= - 2 а (sin t + sin 2 t),
= 2 a (cos t - cos 2 t),
отсюда .
Заметим, что величина v (t) всегда положительна, так как точка не меняет направления своего движения. Это следует из вышеуказанной интерпретации движения. Аналитически в этом можно убедиться, если рассмотреть изменение угла φ, образованного радиус-вектором точки с осью абсцисс:
|
tg φ = x/y; φ = arc tg x/y,
отсюда
Знаменатель и числитель всегда положительны, так как
.
Таким образом, точка всегда движется в одном направлении (φ растет) и скорость сохраняет постоянный знак, который совпадает с ее первоначальным знаком:
.
Для s(t) получим
.
Этот интеграл не может быть вычислен в элементарных функциях (для произвольного t). Вычислим его по участкам.
При
,
тогда s (t)= .
В частности, при t = 2π/3
s = (2π/3) = 16 a /3.
Применять эту формулу при больших t нельзя. Например, при t = 4 π /3 она привела бы к нелепому результату s = 0. При , .
Тогда
.
Задачи
1.2.1.* Определить уравнение движения точки по траектории, а также значение дуговой координаты s и пройденный путь σ к моменту t = 5с, если ее скорость v задана уравнением:
1) v =10 см/с;
2) v = 2 см/с (0 ≤ t ≤ 3);
v = (5 - t) см/с(3 ≤ t ≤ 5);
3) v = (2 t+ 1) см/с;
4) v = (3 - t) см/с;
5) v = см/с;
6) см/с;
7) см/с;
8) v = (t 2 - 3 t + 2) см/с.
Ответы:
1) s = 10 t см; s |t=5c = 50 см; σ |t=5c = 50 см;
2) s = 2 t см (0 ≤ t ≤ 3); s = (5 t - - 4,5) см (3 ≤ t ≤ 5);
s |t=5c = 8 см; σ|t=5 c= 8 см;
3) s = (t 2 + t) см; s |t=5c = 30 см; σ|t=5c = 30 см;
4) s =(3 t - ) см; s |t=5c = 2,5 см; σ|t=5c = 6,5 см;
5) s = (1- cos ) см; s |t=5c = см; σ|t=5c = 2 см;
6) s = (3 t + sin ) см; s |t=5c = 15 см; σ|t=5c = 15см;
7) s = (πt +5 sin ) см; s |t=5c = 5 π см;
σ|t=5c = см;
8) s = см; s |t=5c = см; σ|t=5c = см.
1.2.2.* Определить уравнение движения точкипотраектории, если даны уравнения ее движения в декартовых координатах. Дуговую координату s отсчитывать от начального положения точки в сторону первоначального движения:
1) x = З t 2 + 5; y = 4 t 2 + 3;
2) x = 1 – t; y = t - 1;
3) x = 2sin 2 t; y = 2cos 2 t;
4) x = a+r cos ωt; y = r sin ωt;
5) х = 3cos t 2; y = 3sin t 2;
6) ; z = et;
7) x = 4 a cos2 ωt; y = З а sin2 ωt;
8) x = a cos3 t; y = a sin3 t;
9) x = a (t - sin t); y = a (l - cos t);
10) x = a cos t; у = a sin t; z = ct.
Ответы: 1) s = 5 t 2;
2) s =
3) s = 4 t;
4) s = rωt;
5) s = 3 t 2;
6) s = √3(et —l);
7) s = 5 a sin2 ωt;
8) s = sin2 t [ (см. пример 3)];
9) s = 4 a (l-cos ) [ (см. пример 3)];
10) .
1.2.3. * Колесо радиусом R катится без скольжения по горизонтальному рельсу со скоростью центра . Определить уравнение движения по траектории точки обода колеса, находившейся в начальный момент в точке касания с рельсом. Какое расстояние si будет пройдено точкой по траектории от начала движения до наивысшего положения?
|
Ответ: s = 8 R sin2 ; si = 4 R. Выражение для s справедливо только до момента t = , при котором s = 8 R. После него нужно вычислять s так же, как в примере 3.
1.2.4. Точка движется по траектории согласно уравнению s = 15 + 4 sin πt. Указать ближайший после начала движения момент времени t 1, при котором s 1=17 м. (0.167)
1.2.5. Точка движется по траектории согласно уравнению s = 0,5 t 2 + 4 t. Определить, в какой момент времени скорость точки достигнет 10 м/с. (6)
1.2.6. Точка движется по заданной траектории со скоростью v = 5 м/с. Определить криволинейную координату s точки в момент времени t = 18 с, если при
t 0 = 0 координата s 0 = 26 м. (116)
1.2.7. Точка движется по кривой со скоростью v = 0,5 t. Определить ее координату в момент времени t = 10 с, если при t 0 = 0 координатa точки s 0 = 0. (25)
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!