Потоки платежей. Финансовые ренты

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ. ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ

Методические рекомендации

 

Тверь

Методические рекомендации предназначены для использования в учебном процессе преподавателями предметов «Финансовая математика»
и «Деловые вычисления» при изучении тем «Потоки платежей. Финансовые ренты», «Планирование погашения долга», «Оценка ценных бумаг и расчеты их доходности». Кроме того, в пособие включены задачи и тестовые задания для самостоятельного решения студентами.

 

Составитель С.А. Смирнова, преподаватель Санкт-Петербургской банковской школы Банка России

 

 

Рецензент А.В. Беляков, методист Учебно-методического центра Банка России

 

 

Редактор А.А. Зайцева

 

 

Ответственный за выпуск А.В. Беляков

Ó Учебно-методический центр

Банка России, 1998

СОДЕРЖАНИЕ

1. Понятия потока платежей и финансовой ренты, их основные параметры
2. Классификация финансовых рент
3. Обобщающие характеристики потоков платежей
3.1. Наращенная сумма постоянных рент постнумерандо и пренумерандо
3.2. Современная величина постоянных рент постнумерандо и пренумерандо
4. Определение параметров финансовых рент
4.1. Определение размера постоянной ренты постнумерандо
4.2. Определение срока постоянной ренты постнумерандо
4.3. Определение процентной ставки финансовой ренты приближенным методом
5. Конверсия финансовых рент
5.1. Простые конверсии
5.2. Изменение условий ренты
5.3. Консолидация рент
Ответы к задачам для самостоятельного решения
Приложения
1. Тестовые задания
2. Таблицы для финансовых расчетов
Литература

 

ПОНЯТИЯ ПОТОКА ПЛАТЕЖЕЙ И ФИНАНСОВОЙ РЕНТЫ,

ИХ ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Современные финансово-банковские операции часто предполагают
не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность
во времени. Например, погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, накопление пенсионного фонда или выплата пенсий и т.д. Такую последовательность, или ряд платежей называют потоком платежей, а отдельный элемент этого ряда — членом потока.

Члены потока платежей могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными величинами (выплаты).

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой или просто рентой, или аннуитетом, независимо от назначения или происхождения платежей. Например, рентой является последовательность получения процентов по облигациям, платежи по потребительскому кредиту, выплата в рассрочку страховых премий и т.п.

Во всех приведенных случаях выплата или получение денег производится через равные промежутки времени.

Рента характеризуется следующими параметрами:

· член ренты — размер отдельного платежа;

· период ренты — временной интервал между двумя последовательными платежами;

· срок ренты — время от начала первого периода ренты до конца последнего периода;

· процентная ставка.

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ФИНАНСОВЫХ РЕНТ

При разработке контрактов или в задачах финансового анализа могут возникнуть случаи, когда задаются все параметры ренты, за исключением одного. Возникает задача расчета этого недостающего параметра.

Например, пусть сумма долга определена на определенный момент в будущем. Предполагается, что долг будет погашен путем создания специального фонда на основе последовательных равных взносов в конце года в течение n лет с начислением на них сложных процентов по ставке i_с. Необходимо найти размер ежегодного платежа.

В таком случае мы имеем ренту постнумерандо с известной наращенной суммой S, равной сумме долга, сроком n и процентной ставкой i_с.
Из формулы (1.1) найдем:

.

В других задачах бывает необходимо определить i_c или n.

КОНВЕРСИЯ ФИНАНСОВЫХ РЕНТ

В практической деятельности возникают случаи, когда на этапе разработки контракта или в ходе его выполнения необходимо изменить поток платежей. Например, несколько платежей ренты заменить одним, или заменить ренту с одними параметрами на ренту с другими параметрами. Такие операции называются конвертированием условий финансовой ренты. Конверсия не приводит к изменению финансовых последствий для каждой из участвующих сторон, если она основывается на принципе финансовой эквивалентности обязательств.

Простые конверсии

К простым конверсиям относят выкуп ренты изамену разового платежа рентой.

При выкупе ренты размер выкупа предполагается равным современной стоимости выкупаемой ренты.

При замене разового платежа рентой параметры ренты подбираются так, чтобы ее современная стоимость совпала с размером платежа.

Пример 9. Фирма предлагает покупателю свою продукцию на сумму 50 тыс. руб. с условием ее оплаты в рассрочку в течение одного года под сложные проценты, которые будут начисляться два раза в год по ставке 20% годовых. Платежи должны вноситься ежеквартально.

Определить размер платежа.

Имеем: А = 50000 руб. n = 1 p = 4 j = 0,2 m = 2	Решение: Платежи покупателя за продукцию будут представлять собой финансовую срочную ренту постнумерандо с начислением процентов два раз в год. Для определения размера платежа воспользуемся формулой (4.10)
Rp =?	руб. Rp = R: p = 56247,60: 4 = 14061,9 руб.

Изменение условий ренты

Изменение условий ренты по существу означает замену одной ренты другой. Если замена базируется на принципе финансовой эквивалентности, то из этого следует равенство современных величин обеих рент.

В качестве примера приведем случай, когда внесение первого взноса ренты переносится на более поздний срок (t лет, месяцев). При этом общая продолжительность ренты, размеры платежей могут оставаться прежними или измениться.

Пусть первоначально имеется постоянная рента постнумерандо имеет параметры R₁ и n₁. Необходимо конвертировать ренту, отсрочив выплаты на t лет и заменив параметры на R₂ и n₂.

В соответствии с принципом финансовой эквивалентности должны быть равны современные величины первоначальной и отсроченной рент.

А₁ = А₂.

Вычислим их на момент начала первоначальной ренты.

,

где , — коэффициенты приведения первоначальной годовой
ренты;

— дисконтный множитель за период t, на который
отложена рента.

Рассмотрим один из примеров замены параметров ренты.

Пример 10. Банк предлагает к продаже объект залогового имущества стоимостью 400 тыс. руб. Банк выставил условия продажи: стоимость объекта погашается ежегодными равными платежами, вносимыми в конце года, срок погашения 4 года, сложная процентная ставка 4% годовых, проценты начисляются два раза в год. Покупатель предлагает свои условия: платежи производить 2 раза в год и проценты на них начислять два раза в год, по ставке 6% годовых, со сроком выплаты 6 лет. Определить величину рентного платежа, предложенного продавцом и покупателем.

Имеем: А1 = А2 = 400 тыс. руб. n1 = 4 n2 = 6 J1 = 0,04 j2 = 0,06 m1 = m2 = 2 p1 = 1 p2 = 2	Решение: По условию имеются две эквивалентные ренты с известной общей современной стоимостью. Известны все параметры рассматриваемых рент, за исключением размеров платежей. Найдем их с помощью формул таблицы 1.
R1 -? R2 -?

тыс. руб.

 

тыс. руб.

Задача для самостоятельного решения

8. Фирма по торговле недвижимостью продает квартиру за 120 тыс. руб. на условиях оплаты в течение двух лет равными платежами, вносимыми в конце года с учетом 6% сложных годовых.

Покупатель предлагает оплату с отсрочкой платежей один год с сохранением цены и процентной ставки.

Определите размеры платежей для обоих вариантов.

Консолидация рент

Консолидация (объединение) рент — это замена нескольких рент одной, основанная на принципе финансовой эквивалентности.

При консолидации рент современная величина новой консолидированной ренты равна сумме современных величин заменяемых рент.

, (5.1)

где А — современная величина консолидированной ренты;
— cовременная величина q-й заменяемой ренты, q = 1, 2,..., к.

Основные параметры, которые характеризуют консолидированную ренту, — это размер платежей ренты и ее продолжительность.

Размер платежей консолидированной ренты

, (5.2)

где — коэффициент приведения консолидированной ренты.

При консолидации годовых рент с начислением процентов в конце
каждого года, различающихся между собой размером платежей, продолжительностью ренты, процентными ставками, размер платежей консолидированной ренты можно определить по формуле:

, (5.3)

где R_q — размер платежей;

n_q — продолжительность;

i_cq — процентная ставка q-й ренты.

Пример 11. Имеются две годовые ренты постнумерандо с начислением процентов в конце периода. Их необходимо заменить одной годовой рентой с начислением процентов по ставке 7% сложных годовых и сроком 4 года. Начало срока консолидированной ренты совпадает с началом срока платежей данных рент.

Параметры заменяемых рент даны в таблице 3.

 

Таблица 3

 

Номер ренты q	Размер платежей ренты Rq, тыс. руб	Срок ренты nq, лет	Годовая процентная ставка icq, %	Коэффициент приведения	Современная величина , тыс. руб.
	2,5		8,0	3,312127	8,28032
	3,7		7,0	4,100197	15,17073
Итого					23,45105

 

Определяем величину рентного платежа консолидированной ренты по формуле (5.2).

Коэффициент приведения консолидированной ренты .

Размер платежа консолидированной ренты:

тыс. руб.
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. 90169,75 руб.

2. 1306,59 руб.

3. 283785,37 руб.

4. 953420 руб.

5. 266,26 руб.

6. 33444,82 руб.

7. 7 лет 9 месяцев.

8. 65454,54 руб. 69381,81 руб.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

1. Поток платежей, все члены которого положительные величины,
а временные интервалы между платежами одинаковы, называют ...

а) финансовой рентой

б) очередностью

в) аннуитетом

 

2. Основными параметрами, характеризующими ренту, являются ...

а) размер платежа

б) момент платежа

в) срок ренты

г) период ренты

д) процентная ставка

 

3. По количеству выплат членов ренты на протяжении года ренты делятся на ...

а) годовые

б) бессрочные

в) р-срочные

 

4. По моменту платежа в пределах периода ренты бывают ...

а) постнумерандо

б) пренумерандо

 

5. По величине размеров платежей ренты делятся на ...

а) непрерывные

б) постоянные

в) переменные

 

6. Обобщающими характеристиками ренты являются ...

а) размер платежа ренты

б) наращенная сумма

в) современная величина

7. По какой формуле определяется наращенная сумма годовой финансовой ренты постнумерандо с начислением процентов на платежи несколько раз в году?

а)

б)

в)

 

8. По Приложению 2 определите, чему равен коэффициент наращения годовой ренты постнумерандо сроком 10 лет с начислением процентов по сложной годовой ставке 7% ...

а) 13,18079494

б) 13,81644796

в) 13,924574

 

9. По Приложению 2 определите, чему равен коэффициент приведения годовой ренты постнумерандо сроком 11 лет с начислением процентов по годовой сложной ставке 8 % ...

а) 7,354233898

б) 7,498674337

в) 7,138964258

 

10. Чему равен размер очередного платежа р-срочной ренты, если годовая сумма платежей составляет 5808 руб., а платежи вносятся ежеквартально.

а) 1452 руб.

б) 23232 руб.

в) 1454 руб.

 

11. По какой формуле определяется наращенная сумма р-срочной ренты пренумерандо, если проценты начисляются несколько раз в году?

а)

б)

в)

 

12. По какой формуле определяется современная величина годовой ренты постнумерандо с начислением процентов несколько раз в году?

а)

б)

в)

 

13. По каким формулам определяется размер очередного платежа р-срочной ренты постнумерандо, когда количество платежей совпадает с количеством раз начисления процентов в году?

а)

б)

в)

г)

 

14. Консолидация рент — это ...

а) сохранение параметров ренты

б) объединение нескольких рент в одну, основанное на принципе финансовой эквивалентности

 

15. Переменная рента — это ...

а) поток платежей, члены которого не являются постоянными величинами

б) поток платежей, на которые начисляются проценты по различным значениям процентных ставок

ОТВЕТЫ

1.а, в	6. б, в	11.б
2. а, в, г, д	7. б	12. б
3. а, в	8. б	13.а, б
4. а, б	9. в	14.б
5. б, в	10.а	15.а

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ЛИТЕРАТУРА

Башарин Г.П. Начала финансовой математики. — М.: Инфра-М, 1997.

Мелкумов Я.С. Теоретическое и практическое пособие по финансовым вычислениям. — М.: Инфра-М, 1996.

Мицкевич А.А. Деловая математика в экономической теории и практике. — М.: Высшая школа экономики, 1995.

Черкасов В.Е. Практическое руководство по финансово-экономическим расчетам. — М.: Метаинформ: Консалтбанкир, 1995.

Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. — М.: Дело, 1995.

 

 

Ответственный за оригинал-макет Н.В. Давликанова

Компьютерная верстка Ж.Г. Цветкова

Подписано в печать 25.12.98

Объем 2,75 печ.л.

 

Учебно-методический центр Банка России

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ. ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ

Методические рекомендации

 

Тверь

Методические рекомендации предназначены для использования в учебном процессе преподавателями предметов «Финансовая математика»
и «Деловые вычисления» при изучении тем «Потоки платежей. Финансовые ренты», «Планирование погашения долга», «Оценка ценных бумаг и расчеты их доходности». Кроме того, в пособие включены задачи и тестовые задания для самостоятельного решения студентами.

 

Составитель С.А. Смирнова, преподаватель Санкт-Петербургской банковской школы Банка России

 

 

Рецензент А.В. Беляков, методист Учебно-методического центра Банка России

 

 

Редактор А.А. Зайцева

 

 

Ответственный за выпуск А.В. Беляков

Ó Учебно-методический центр

Банка России, 1998

СОДЕРЖАНИЕ

1. Понятия потока платежей и финансовой ренты, их основные параметры
2. Классификация финансовых рент
3. Обобщающие характеристики потоков платежей
3.1. Наращенная сумма постоянных рент постнумерандо и пренумерандо
3.2. Современная величина постоянных рент постнумерандо и пренумерандо
4. Определение параметров финансовых рент
4.1. Определение размера постоянной ренты постнумерандо
4.2. Определение срока постоянной ренты постнумерандо
4.3. Определение процентной ставки финансовой ренты приближенным методом
5. Конверсия финансовых рент
5.1. Простые конверсии
5.2. Изменение условий ренты
5.3. Консолидация рент
Ответы к задачам для самостоятельного решения
Приложения
1. Тестовые задания
2. Таблицы для финансовых расчетов
Литература