Уравнения. Неравенство с переменной.

Выражения с переменной.

 

Дайте определение понятий "выражение", "переменная", "числовые выражения", "выражение с переменной".

 

 

Понятие "математическое выражение" (или просто "выражение"), изучаемое в начальных классах, имеет важное значение. Это понятие помогает учащимся овладеть вычислительными навыками, избежать ошибок, связанных с непониманием структуры выражений. Усвоение данного понятия обусловливает формирование таких важных математических понятий, как равенство, неравенство, уравнение.

Программой по математике в начальных классах предусматривается научить детей читать и записывать математические выражения, ознакомить с правилами порядка выполнения действий и научить ими пользоваться при вычислениях, ознакомить учащихся с тождественными преобразованиям выражений, а также научить сравнивать выражения с целью установления отношений "больше", "меньше", "равно", научить записывать результаты сравнения помощью знаков и читать полученные равенства и неравенства.

 

1. Пропедевтическая работа.

-примеры с окошками

 

- Понятие переменной.

 

2. Ознакомление с понятием.

- числовое выражение

 

Содержательная сторона Формальная сторона

 

 

- выражение с одной переменной

4+а - сумма чисел 4 и а.

Учащиеся должны уметь читать, записывать, находить значения выражения с переменной при данном значении переменной.

- выражение с двумя переменными

слагаемое 7 15 а с

слагаемое 8 15 9 р

сумма

 

Закрепление.

- прочитайте выражение

- найдите значение выражения

- дайте свое значение переменным и вычислите значение выражения

- прочитать запись с помощью букв, арифметических действий, зависимостей, вычислить значение выражения "а-в"

- выполнить тождественное преобразование выражения (5+в)*3

Возможные затруднения учащихся.

 

Равенства. Неравенства.

 

Дайте определения равенства, неравенства.

 

 

Данные понятия усваиваются на эмпирическом уровне.

Задачи:

- уметь выделять равенства и неравенства (подводить под понятия),

- уметь сравнивать численности множеств,

числа,

число и выражение,

два выражения,

однородные величины,

- уметь составлять верные равенства и неравенства из заданных выражений.

 

Обучение сравнению.

 

1. Сравнение численности множеств.

 

2. Уравнивание множеств.

 

3. Сравнение чисел.

4*2

"Десяток" 3*2, 24*25

"Сотня" 59*62

"Многозначные числа" 270060*270006

 

4. Сравнение величин

4см * 7см

1дм2см * 25см

 

5. Сравнение числа и выражения.

1способ: 3*3+1

2 способ 3*3+1

3 способ 4* 4.3

 

Сравните, где это возможно (а, в, х - неизвестные числа, т.е. числовые переменные).

а • 2 * а

в: 3 * в

х 5 * х

х: 5 * х

а 3 * с 3

Поставьте в "окошко" числа так, чтобы получилась верная запись:

3+1>….. 4+1< ….. 4-1> …..

4+1> …. 2+1<…… 5-1< …..

6+1> ….. 5+1< ….. 6-1< …..

7+3> ….. 6+2< ….. 7-3> …..

 

Сколько возможно вариантов?

 

6. Сравнение выражений.

 

1 способ. 45-14*28+11

 

2 способ. 24:6 * 24:4

3+2*3+1

3 способ 3+1*1+3

(20+3).2* 20. 2 +3

 

Сравни выражения в каждой паре.

6-2 7-3 6-2

6-3 7-4 6-1

 

6-2 5-3 4-2

7-2 6-3 5-2

Чем они похожи? Чем отличаются?

 

Что заметили?

 

Закончите предложения:

"Если при постоянном одном из слагаемых другое слагаемое увеличить (уменьшить), то значение суммы...'

'Если при постоянном уменьшаемом вычитаемое увеличить (уменьшить), то значение разности...' 'Если при постоянном вычитаемом уменьшаемое увеличить (уменьшить), то значение разности...'

Аналогичную работу целесообразно провести и для случая увеличения (уменьшения) вычитаемого и уменьшаемого на одно и то же число единиц.

 

Сравнить выражения в каждой паре.

6х2 и 6х3

4х3 и 4х4

 

Как изменится значение произведения, если второй множитель уменьшим на I? на 2? Докажите.

 

Аналогичная работа ведется для установления зависимости при нахождении частного.

6:2 и 6:3

Сравните выражения в каждой паре. Чем они похожи? Чем отличаются?

 

Что заметили?

 

8: 2 и 10:2

 

Закончите предложения:

"Если при постоянном одном из множителей другой увеличить (уменьшить), то значение частного... "

"Если при постоянном делимом делитель увеличить (уменьшить), то значение частного..."

"Если при постоянном делителе делимое увеличить (уменьшить), то значение частного..."

 

Не находя значения произведения, поставьте знак сравнения.

7х2 * 7х3

5х3 * 5х4

- Рассуждения учащихся:

 

Следовательно, 7 х 2<7 х 3.

 

Аналогичная работ проводится для деления:

12:4 * 12:3

15:3 * 15:5

Рассуждения учащихся:

 

12:3 * 9:3

8:4 * 12:4

Рассуждения учащихся:

 

Задания для закрепления.

1. Выпишите выражения в два столбика. По какому признаку это можно сделать?

а)5х2*5х3 8х2*9х2 4х7*4х8

6х4 * 7х4 6х3 * 6х4 5х7 * 3х7

 

2. Превратите обе части неравенства в произведения (частные, произведения и частные), не меняя знака и данных чисел.

7>5

 

3. Превратите равенство в неравенства.

4=4

 

Последовательность изучения вопросов по традиционной программе.

Этапы формирования понятий.

1. этап. Выделение материальных объектов, моделями которых служат математические объекты. Мотивация изучения алгебраического объекта.

 

2. этап. Наблюдение объектов.

Цель - выделение свойств наблюдаемых объектов.

 

 

3. этап. Определение понятий.

Определение - высказывание, раскрывающее суть вещи.

Цель - Определить понятие, указать существенные свойства объектов, принадлежащих объему понятия, которых достаточно для их распознавания.

В начальных классах используются две формы определения - остенсивное и вербальное.

Сравнение понятий.

-найти общие свойства.

 

 

- сравнить объекты

 

 

- сравнить понятия.

 

 

Обобщение понятий.

Переход от понятия с меньшим объемом к понятию с большим объемом. Переход осуществляется за счет удаления из содержания исходного понятия признаков, присущих объему только данного понятия.

- Назовите одним словом.

 

 

- Найдите более общее понятие.

 

- Исключить лишнее понятие (уравнение, неравенство).

 

 

- Назвать по-разному объект.

 

 

- Назвать признаки одного и того же понятия на основе различных родов

 

Обогащение данного понятия.

 

 

Выражения с переменной.

 

Дайте определение понятий "выражение", "переменная", "числовые выражения", "выражение с переменной".

 

 

Понятие "математическое выражение" (или просто "выражение"), изучаемое в начальных классах, имеет важное значение. Это понятие помогает учащимся овладеть вычислительными навыками, избежать ошибок, связанных с непониманием структуры выражений. Усвоение данного понятия обусловливает формирование таких важных математических понятий, как равенство, неравенство, уравнение.

Программой по математике в начальных классах предусматривается научить детей читать и записывать математические выражения, ознакомить с правилами порядка выполнения действий и научить ими пользоваться при вычислениях, ознакомить учащихся с тождественными преобразованиям выражений, а также научить сравнивать выражения с целью установления отношений "больше", "меньше", "равно", научить записывать результаты сравнения помощью знаков и читать полученные равенства и неравенства.

 

1. Пропедевтическая работа.

-примеры с окошками

 

- Понятие переменной.

 

2. Ознакомление с понятием.

- числовое выражение

 

Содержательная сторона Формальная сторона

 

 

- выражение с одной переменной

4+а - сумма чисел 4 и а.

Учащиеся должны уметь читать, записывать, находить значения выражения с переменной при данном значении переменной.

- выражение с двумя переменными

слагаемое 7 15 а с

слагаемое 8 15 9 р

сумма

 

Закрепление.

- прочитайте выражение

- найдите значение выражения

- дайте свое значение переменным и вычислите значение выражения

- прочитать запись с помощью букв, арифметических действий, зависимостей, вычислить значение выражения "а-в"

- выполнить тождественное преобразование выражения (5+в)*3

Возможные затруднения учащихся.

 

Равенства. Неравенства.

 

Дайте определения равенства, неравенства.

 

 

Данные понятия усваиваются на эмпирическом уровне.

Задачи:

- уметь выделять равенства и неравенства (подводить под понятия),

- уметь сравнивать численности множеств,

числа,

число и выражение,

два выражения,

однородные величины,

- уметь составлять верные равенства и неравенства из заданных выражений.

 

Обучение сравнению.

 

1. Сравнение численности множеств.

 

2. Уравнивание множеств.

 

3. Сравнение чисел.

4*2

"Десяток" 3*2, 24*25

"Сотня" 59*62

"Многозначные числа" 270060*270006

 

4. Сравнение величин

4см * 7см

1дм2см * 25см

 

5. Сравнение числа и выражения.

1способ: 3*3+1

2 способ 3*3+1

3 способ 4* 4.3

 

Сравните, где это возможно (а, в, х - неизвестные числа, т.е. числовые переменные).

а • 2 * а

в: 3 * в

х 5 * х

х: 5 * х

а 3 * с 3

Поставьте в "окошко" числа так, чтобы получилась верная запись:

3+1>….. 4+1< ….. 4-1> …..

4+1> …. 2+1<…… 5-1< …..

6+1> ….. 5+1< ….. 6-1< …..

7+3> ….. 6+2< ….. 7-3> …..

 

Сколько возможно вариантов?

 

6. Сравнение выражений.

 

1 способ. 45-14*28+11

 

2 способ. 24:6 * 24:4

3+2*3+1

3 способ 3+1*1+3

(20+3).2* 20. 2 +3

 

Сравни выражения в каждой паре.

6-2 7-3 6-2

6-3 7-4 6-1

 

6-2 5-3 4-2

7-2 6-3 5-2

Чем они похожи? Чем отличаются?

 

Что заметили?

 

Закончите предложения:

"Если при постоянном одном из слагаемых другое слагаемое увеличить (уменьшить), то значение суммы...'

'Если при постоянном уменьшаемом вычитаемое увеличить (уменьшить), то значение разности...' 'Если при постоянном вычитаемом уменьшаемое увеличить (уменьшить), то значение разности...'

Аналогичную работу целесообразно провести и для случая увеличения (уменьшения) вычитаемого и уменьшаемого на одно и то же число единиц.

 

Сравнить выражения в каждой паре.

6х2 и 6х3

4х3 и 4х4

 

Как изменится значение произведения, если второй множитель уменьшим на I? на 2? Докажите.

 

Аналогичная работа ведется для установления зависимости при нахождении частного.

6:2 и 6:3

Сравните выражения в каждой паре. Чем они похожи? Чем отличаются?

 

Что заметили?

 

8: 2 и 10:2

 

Закончите предложения:

"Если при постоянном одном из множителей другой увеличить (уменьшить), то значение частного... "

"Если при постоянном делимом делитель увеличить (уменьшить), то значение частного..."

"Если при постоянном делителе делимое увеличить (уменьшить), то значение частного..."

 

Не находя значения произведения, поставьте знак сравнения.

7х2 * 7х3

5х3 * 5х4

- Рассуждения учащихся:

 

Следовательно, 7 х 2<7 х 3.

 

Аналогичная работ проводится для деления:

12:4 * 12:3

15:3 * 15:5

Рассуждения учащихся:

 

12:3 * 9:3

8:4 * 12:4

Рассуждения учащихся:

 

Задания для закрепления.

1. Выпишите выражения в два столбика. По какому признаку это можно сделать?

а)5х2*5х3 8х2*9х2 4х7*4х8

6х4 * 7х4 6х3 * 6х4 5х7 * 3х7

 

2. Превратите обе части неравенства в произведения (частные, произведения и частные), не меняя знака и данных чисел.

7>5

 

3. Превратите равенство в неравенства.

4=4

 

Последовательность изучения вопросов по традиционной программе.

Уравнения. Неравенство с переменной.

Дайте определения уравнения, неравенства с переменной.

Дайте определения понятий

-представление

- понятие