Эконометрический анализ при нарушении классических предположений. Временные ряды

Основные проблемы при нарушении классических предположений

При моделировании реальных экономических процессов возникают ситуации, в которых условия классической модели регрессии оказываются нарушенными, а при их нарушении МНК может давать оценки с плохими статистическими свойствами:

1. Если имеется линейная связь экзогенных переменных, например х₂=b₀+b₁x₁, то МНК-оценки не будут существовать. Такая ситуация в эконометрике носит название проблемы мультиколлинеарности.

2. Если нарушается гипотеза о взаимной независимости случайной переменной , то возникает проблема автокорреляции.

3. Одной из ключевых предпосылок МНК является условие постоянства дисперсий случайных отклонений. Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастичностъю. Невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностъю (непостоянством дисперсий отклонений).

Мультиколлинеарность

Если в модель включаются два или более тесно взаимосвязанных фактора, то наряду с уравнением регрессии появляется и другая зависимость. Мультиколлинеарность — тесная зависимость между факторными признаками, включенными в модель. Онаискажает величину коэффициентов регрессии и затрудняет их экономическую интерпретацию. Мультиколлинеарность возникает лишь в слу­чае множественной регрессии.

В решении проблемы мультиколлинеарности можно выде­лить несколько этапов.

1. Установление наличия мульти­коллинеарности.

2. Определение причин возник­новения мульти­коллинеарности.

3. Разработка мер по устранению мультиколлинеар­ности.

Способы определения наличия мультиколлинеарности:

1. Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции. Факторы х_i и х_j могут быть признаны коллинеарными, если r_xixj > 0,8.

2. Исследование матрицы X’X. Если определитель матрицы X’X близок к нулю, то это свидетельствует о наличии мультиколлинеарности.

3. Коэффициент детерминации R ² достаточно высок, но не­которые из коэффициентов регрессии статистически незначи­мы, т.е. они имеют низкие t -статистики.

Выделяют следующие методы устранения или уменьшения мультиколлинеарности:

1. Сравнение значений линейных коэффициентов корреляции; при отборе факторов предпочтение отдается тому фактору, который более тесно, чем другие факто­ры, связан с результативным признаком, причем желательно, чтобы связь данного факторного при­знака с у была выше, чем его связь с другим фак­торным признаком.

2. Метод включения факторов; в модель включают­ся факторы по одному в определенной последова­тельности, после включения каждого фактора в модель рас­считывают ее характеристики и модель проверяют на достоверность.

3. Метод исключения факторов; в модель включаются все факторы, после построения уравнения ре­грессии из модели исключают фактор, коэффици­ент при котором незначим и имеет наименьшее значение t -критерия. Процесс исключения факторов продолжается до тех пор, пока все коэффициенты ре­грессии не будут значимы.

4. Получение дополнительных данных или новой выборки.

5. Изменение спецификации модели.

6. Использование предварительной информации о некоторых параметрах.

Автокорреляция

Автокорреляция (последовательная корреляция) опреде­ляется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные данные).

Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов.

Методы определения автокорреляции:

1. Графический метод. По оси абсцисс отклады­ваются либо время (момент) получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения (либо оценки отклонений). По графику предполагают, имеются ли определенные связи между отклонениями, т.е. автокорреляция. Отсутствие зависимости, скорее всего, свидетельствует об отсутствии автокорреляции. Можно также график дополнить графиком зависимости e_t от e_{t -1}.

2. Тест Дарбина-Уотсона.

Гетероскедастичность

Одной из ключевых предпосылок МНК является условие постоянства дисперсий случайных отклонений. Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастичностъю. Невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностъю (непостоянством дисперсий отклонений). Проблема гетероскедастичности характерна для перекрестных данных и довольно редко встречается при рассмотрении временных рядов. Не существует однозначного метода определения гетероскедастичности. Однако для проверки разработано много тестов и критериев. Наиболее популярные и наглядные: графический анализ отклонений, тест ранговой корреляции Спирмена, тест Парка, тест Глейзера, тест Голдфелда—Квандта.

Использование графического представления отклонений по­зволяет определиться с наличием гетероскедастичности. В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняю­щей переменной X (либо линейной комбинации объясняющих переменных), а по оси ординат либо отклонения, либо их квадраты.

Если все отклонения находятся внутри полосы постоянной ширины, параллельной оси абсцисс, то это говорит о независимости дисперсий от значений переменной X и их постоянстве, т.е. в этом случае выполняются условия гомоскедастичности.

Если наблюдаются некоторые систематические изменения в соотношениях между значениями переменной X и квадратами отклонений (линейная, квадратичная, гиперболическая и др. зависимости), то такие ситуации отражают большую вероятность наличия гетероскедастичности для рассматриваемых статистических данных.

Временные ряды

Для характеристики и анализа различных социально-экономи­ческих явлений за определенный период применяют показатели и методы, характеризующие эти процессы во времени (динамике). Под временным рядом в экономике понимается последовательность наблю­дений некоторого признака (случайной величины) Y в последовательные моменты времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда, которые будем обозначать у_t (t= 1,2,..., n), где п – число уровней. Последовательно расположенные во времени числовые показатели характеризуют уровень состояния и изменения явления или процесса.

Классификация временных рядов:

1. В зависимости от показателя времени, временные ряды бывают моментные (на определенную дату) и интервальные (за определенный период).

2. По форме представления уровни во временном ряду могут быть представлены абсолютными, средними и от­носительными величинами.

3. По расстоянию между уровнями временные ряды подразде­ляются на ряды с равноотстоящими и неравноотстоящими уровнями по времени. В равноотстоящих ря­дах даты регистрации периода следуют друг за другом с равными интервалами, в неравноотстоящихравные интервалы не соблю­даются.

4. По содержанию показатели временных рядов подразделяют на состоящие из частных показателей и агре­гированных показателей. Частные показатели характеризуют явления изолированно, односторонне (например, динамика показателей среднесуточного объема потребленной воды); агрегированные показатели являются производными от частных показателей и характеризуют изучаемое явление комплексно (например, динамика пока­зателей экономической конъюнктуры).

В общем виде при исследовании экономического временного ряда у_t выделяются несколько составляющих

где — тренд, плавно меняющаяся компонента, описывающая чистое влияние долговременных факторов, т. е. длительную тенденцию изменения признака (например, рост населения, экономическое развитие, изменение структуры по­требления и т. п.);

, — сезонная компонента, отражающая повторяемость эконо­мических процессов в течение не очень длительного периода (года, иногда месяца, недели и т. д., например, объем продаж това­ров или перевозок пассажиров в различные времена года);

— случайная компонента, отражающая влияние не поддаю­щихся учету и регистрации случайных факторов.

Следует обратить внимание на то, что в отличие от первые составляющие , являются закономерными, неслучайными.

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент называются аддитивными; как произведение – мультипликативными моделями временного ряда.

1. Аддитивная модель имеет вид .

2. Мультипликативная модель . Такую модель применяют в случае, если про­исходят существенные сезонные изменения

Среди наиболее распространенных методов анализа времен­ных рядов выделим корреляционный анализ, модели авторегрессии и скользящей средней.

Важное значение в анализе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Стационарные временные ряды применяются, в частности, при описании случайных составляющих анализируемых рядов. Временной ряд (t= 1,2,..., n) называется стационарным, если совместное распределение вероятностей п наблюдений , ,..., такое же, как и п наблюдений , ,..., при любых , и . Иначе говоря, свойства стационарных рядов не зави­сят от момента , т. е. закон распределения и его числовые ха­рактеристики не зависят от . Поэтому математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение могут быть оценены по наблюдениям (t= 1,2,..., n) по формулам

, .

Степень тесноты связи между последовательностями наблю­дений временного ряда , ,..., и , ,..., (сдвинутых относительно друг друга на единиц, или, как говорят, с лагом ) может быть определена с помощью коэффициента корреляции

,

ибо , .

Так как коэффициент измеряет корреляцию между членами одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции, а зависимость – автокорреляционной функцией. В силу стационарности временного ряда , () автокорреляционная функция зависит только от лага , причем .

Статистической оценкой является выборочный коэффициент автокорреляции , определяемый по формуле коэффициента корреляции:

Функцию называют выборочной автокорреляционной функцией, а ее график – коррелограммой. При расчете следует помнить, что с увеличением число пар наблюдений , уменьшается, поэтому лаг должен быть таким, чтобы число было достаточным для определения . Обычно ориентируются на соотношение .