История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2017-12-13 | 233 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Для количественной характеристики распределения случайных величин вводится понятие функции распределения F(x).
Определение. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), равная вероятности того, что случайная величина Х приняла значение меньшее наперёд заданного х:
F(x) = p(X < x).
При любом значении х функция распределения равна сумме вероятностей всех значений Х, меньших х.
Свойства функции распределения.
1)
2) F(x) – неубывающая функция.
Следствие 1. Вероятность попадания случайной величины в полуинтервал [a, b) равна приращению функции распределения на этом отрезке:
Р(а £ х < b) = F(b) – F(a). (3.19)
Пример 3.11. Случайная величина Х задана функцией распределения:
Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (1/4; 1).
Решение. Искомая вероятность равна приращению функции распределения на заданном интервале: Р(1/4 < Х <1) = F(1) – F(1/4).
Так как на интервале (1/4; 1), по условию, F(х) = х /2, то F(1) – F(1/4) = 1/2 – 1/8 = 3/8. Итак, Р(1/4 < Х <1) = 3/8.
Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо заранее заданное значение, равна нулю:
Р(Х = а) = 0.
Для непрерывной случайной величины:
P(a < x < b) = P(a £ x £ b) = P(a £ x < b) = P(a < x £ b) = F(b) – F(a).
3) Если значение случайной величины X принадлежат ] a, b [, то
F(x) = 0 при х £ a, F(x) = 1 при х ³ b.
Определение. Плотность вероятности случайной величины X равна производной её функции распределения:
f(x) = F'(x) (3.20)
Это положительная функция f(x) ³ 0, обладающая свойством (условие нормировки плотности вероятностей):
(3.21)
|
Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, заключённое между а и b равна интегралу от её плотности вероятности, взятому от а до b:
(3.22)
Пример 3.12. Случайная величина Х задана функцией распределения, приведенной в примере 3.10. Требуется: а) найти плотность распределения вероятностей; б) используя плотность распределения вероятностей, найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (1/4; 1).
Решение. а) Найдем плотность распределения вероятностей f(х), для чего продифференцируем по х интегральную функцию F(х):
б) Искомая вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (1/4; 1), равна определенному интегралу с пределами от 1/4 до 1 от плотности распределения вероятностей:
Рекомендуется самостоятельно построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей.
Пример 3.13. Плотность вероятности случайной величины равна f (x) = С ×sin2 x в интервале (0; p/2); вне этого интервала f (x) = 0.Найти постоянный параметр С и математическое ожидание случайной величины Х.
Решение: Плотность вероятности f (x) должна удовлетворять условию
. Потребуем, чтобы это условие выполнялось для заданной функции:
Отсюда . Вычислим определенный интеграл:
Окончательно получаем С = 1/1 = 1.
Вычислим математическое ожидание случайной величины Х:
Решим определенный интеграл методом интегрирования по частям:
примем u = x, тогда d u = d x; d v = sin2 x d x, тогда v = òsin2 x d x = cos2 x
Тогда по формуле интегрирования по частям получим:
Математическое ожидание случайной величины X: М(X) = .
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!