Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-12-13 | 160 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Функция от двух переменных называется неявной, если она задается уравнением , неразрешенным относительно .
Для вычисления частной производной (или ) надо зафиксировать и дифференцировать уравнение , имея в виду, что зависит от . По правилу дифференцирования сложной функции получаем:
, т.е. .
Откуда
или . (19.10)
Аналогично
или . (19.11)
Если хотим, чтобы эти производные принимали определенное значение, то надо требовать, чтобы выполнялось, так называемое, условие существования неявной функции
!50. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть имеем поверхность, заданную уравнением вида .
Теорема 19.3. Все касательные прямые к данной поверхности в ее обыкновенной точке лежат в одной плоскости.
Определение 19.12. Прямая, проведенная через очку поверхности перпендикулярно к касательной плоскости, называется нормалью к поверхности.
Если уравнение поверхности задано в неявном виде , то каноническое уравнение нормали в точке имеет вид:
. (19.14)
Если поверхность задана уравнением , то каноническое уравнение нормали в точке имеет вид:
. (19.15)
!51. Экстремум функции двух переменных
Понятие максимум, минимум, экстремум функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной. Пусть функция определена в некоторой области , точка .
Определение 19.13. Точка называется точкой максимума , если существует такая -окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство
.
Определение 19.14. Точка называется точкой минимума , если существует такая -окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство
|
.
Значение функции в точке максимум (минимум) называется максимум (минимум) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.
Рассмотрим условия существования экстремума функции.
Теорема 19.4 (необходимое условие экстремума). Если точка является точкой экстремума функции , то или хотя бы одна из этих производных не существует.
Определение 19.15. Точки, в которых хотя бы одна частная производная равна нулю или не существует, то такие точки называются критическими точками.
Если речь идет о точках, в которых частные производные первого порядка равны нулю, то такие точки называются стационарными точками.
Теорема 19.5 (достаточное условие экстремума). Пусть функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно в некоторой области, содержащей стационарную точку . Вычислим в точке значения . Обозначим
.
!53. Основные понятия
При решении различных задач математики, физики, химии, экономики и других наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производную. Такие уравнения называются дифференциальными (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.). Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Так, решением уравнения является функция - первообразная для функции .
Определение 20.1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производные . ДУ записывается так:
или
.
Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называется обыкновенным, в противном случае – ДУ в частных производных.
Определение 20.2. Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Определение 20.3. Решением ДУ называется функция, которая при подстановке ее вместе с производной в это уравнение превращает его в тождество.
|
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!