Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-12-13 | 220 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Первая часть сформулированной задачи A нами решена. Для решения второй части этой задачи построим ещё одну модель - арифметическую (координатную) модель векторного пространства.
Построение арифметической модели векторного пространства направленных отрезков
В этом пункте для направленных отрезков, являющихся элементами геометрической модели векторного пространства, мы построим координатную (арифметическую) модель так, что нам потребуются лишь восемь свойств направленных отрезков сформулированных выше и следующая теорема размерности.
Выражения вида a +b +…+g называются линейными комбинациями векторов с действительными числами.
Теорема размерности.
1. Пусть вектор параллелен вектору 1, тогда существует единственное x ÎR такое, что = x 1.
2.
x 1 |
y 2 |
1 |
2 |
Рис. 3.4 |
= х 1+ у 2.
3. Пусть векторы 1, 2 и 3 не лежат в одной плоскости. Тогда всякий вектор есть их единственная линейная комбинация:
= x 1 + y 2 + z 3
Доказательство проведем только для второго случая.
Выберем произвольную точку О на плоскости и отложим из нее векторы 1, 2 и . На направления 1 и 2 отложим направленные проекции вектора , рис. 6, обозначив их, соответственно, х 2 и у 2. Тогда получим требуемое равенство = х 1 + у 2. Случай 2 доказан. Случай 1 - тривиален, а случай 3 доказывается аналогично с построением параллелепипеда.
Будем говорить, что векторы 1 и 1, рис. 3.4, образуют векторный базис на плоскости векторов, а числа х и у в этом разложении назовем координатами вектора в этом базисе. Аналогично можно определить базис на прямой и в пространстве, используя случаи 1 и 3 рассмотренной теоремы.
|
Таким образом, каждый вектор имеет свои координаты в заданном базисе и, наоборот, всякая тройка чисел (x,y,z) (в заданном порядке) определяет единственный вектор в этом базисе.
Вывод 1.
Если в пространстве задан базис { 1, 2, 3}, то между множеством векторов геометрической модели направленных отрезков и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно-однозначное соответствие
↔(x,y,z), (3.1)
которое определяется разложением вектора в заданном базисе: .
Чтобы объявить множество упорядоченных троек чисел арифметической или, что тоже, координатной моделью трехмерного векторного пространства, нам надо определить операции сложения векторов и умножения на число в координатной форме, учитывая определения этих операций в геометрической модели направленных отрезков.
Для удобства будем считать, что , , – известный в элементарной геометрии базис, состоящий из единичных взаимно-перпендикулярных векторов. Для простоты, также, ограничимся двумерным случаем.
Пусть , . Тогда и элементы геометрической модели и для них определена сумма
.
Учитываем, что , , и также элементы геометрической модели и, используя свойства 1-4 сложения и свойства 1-4 умножения, получаем:
Согласно соответствию (1.10), установленному выше, заключаем, что – координаты вектора . Аналогично показывается, что вектор имеет координаты .
Вывод 2.
Операции сложения по правилу параллелограмма в геометрической модели направленных отрезков соответствует операция сложения по координатам в арифметической (координатной) модели векторов, операции умножения направленного отрезка на число соответствует операция умножения всех координат этого вектора на число в координатной модели.
Наконец, для противоположного вектора находим координаты: .
Вывод 3.
В координатной модели определены операции сложения векторов и умножение векторов на число. Доказательство этих фактов использует в точности 8 свойств операций сложения и умножения, установленных в геометрической модели. При построении координат использовалась теорема размерности для направленных отрезков, поэтому эти 8 свойств и свойство размерности называют девятью аксиомами арифметической модели векторного пространства.
|
Мы завершили решение сформулированной в начале параграфа задачи А. Вот это решение:
На множестве направленных отрезков система восьми свойств операции сложения направленных отрезков и умножения на число и утверждение о размерности векторного пространства определяет арифметическую модель векторного пространства.
Попутно мы устанавливаем следующее свойство.
Вывод 4.
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!