Указания к решению задач контрольной работы №3

К задаче 3.1

Непосредственная подстановка в данное выражение предельного значения аргумента приводит к неопределенному выражению Следовательно, прежде чем перейти к пределу, преобразуем данное выражение

Имеем неопределенность вида Чтобы ее раскрыть, умножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю. После этого можно сократить на и применить свойство предела частного:

Имеем неопределенности вида которые можно раскрыть, поделив числитель и знаменатель дробей на , где k – старшая степень многочленов в числителе и знаменателе:

Имеем неопределенность вида . Преобразуем числитель и знаменатель по формулам тригонометрии и раскроем неопределенность, учитывая эквивалентность бесконечно малых:

Имеем неопределенности вида , которые раскрываем, используя второй замечательный предел:

1) Способ 1.

Способ 2. Воспользуемся формулой

К задаче 3.2

Функция определена при .

Чтобы функция была непрерывна в точке , необходимо, чтобы односторонние пределы при слева и справа были равны и равны значению функции в точке . Имеем

Следовательно, отсюда и

График функции показан на рис. 4.

x

y

−1

Рис. 4

 

К задаче 3.3

а) .

1) Применим логарифмическое дифференцирование:

Итак,

>

Дифференцируем заданное соотношение и определим затем :

г)

Используем формулу производной параметрически заданной функции:

К задаче 3.4

Преобразуем функцию . При имеем неопределенность вида к которой применим правило Лопиталя дважды. Переходя к отношению производных, получим

К задаче 3.5

Исследование функции будем производить по следующей схеме:

1) находим область определения функции , точки разрыва;

2) находим асимптоты графика функции;

3) проверяем симметрию графика (четность, нечетность функции), периодичность;

4) находим интервалы монотонности, экстремумы;

5) находим интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба;

6) находим точки пересечения с осями координат;

7) проводим, в случае необходимости, исследование графика на концах ;

8) строим график функции.

Исследуем данную функцию по изложенной выше схеме:

1) Область определения функции .

– точка разрыва функции.

2) Вертикальная асимптота:

следовательно, – вертикальная асимптота.

Наклонная асимптота: .

следовательно, – горизонтальная асимптота.

4) Находим интервалы монотонности, экстремумы:

Для нахождения критических точек решаем уравнение , то есть

, отсюда – подозрительная на экстремум. Точка – точка разрыва функции, она не может быть точкой экстремума. Составляем схему интервалов монотонности и экстремумов:

Знак

Поведение функции y

−3

+

−

−

x

max

точка разрыва

Следовательно,

На интервале функция возрастает, на интервале
функция убывает.

5) Находим интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба:

при , , отсюда точка – подозрительная на перегиб. Точка – точка разрыва функции, она не может быть точкой пререгиба. Составляем схему интервалов выпуклости, вогнутости и точек перегиба:

Знак

Поведение функции y

−4

+

−

+

x

точка перегиба

На интервале кривая вогнута, на интервале кривая выпукла. Точка – точка перегиба, f

6) Находим точки пересечения с осью Ox:

Точек пересечения с осью Oy нет: .

 

7) Проводим дополнительное исследование:

а) на интервале , график функции выше оси Ox; на интервале , график функции ниже оси Ox.

б) исследуем поведение функции на бесконечности:

8) Строим график функции (рис. 5).

−1

−2

−3

−4

x

y

Рис. 5

Контрольная работа №4

Задача 4.1. Найти и построить область определения D данной функции.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

 

Задача 4.2. Дана функция . Проверить, удовлетворяет ли эта функция заданному уравнению. Показать, что .

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

 

Задача 4.3. Исследовать на экстремум функцию.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Задача 4.4. Найти неопределенный интеграл.

1. а) ; б) ;

в) ; г) .

2. а) ; б) ;

в) ; г) .

3. а) ; б) ;

в) ; г) .

4. а) ; б) ;

в) ; г) .

5. а) ; б) ;

в) ; г) .

6. а) ; б) ;

в) ; г) .

7. а) ; б) ;

в) ; г) .

8. а) ; б) ;

в) ; г) .

9. а) ; б) ;

в) ; г) .

10. а) ; б) ;

в) ; г) .

Задача 4.5. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

1. а) , б) .

2. а) , б) .

3. а) , б) .

4. а) , б) .

5. а) , б) .

6. а) , б) .

7. а) , б) .

8. а) , б) .

9. а) , б) .

10. а) , б) .

Задача 4.6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

1.

2.

3.

4. .

5.

6.

7.

8.

9.

10.