Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-12-12 | 247 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Законом распределения дискретной двумерной случайной величины (Х,Y) называют перечень возможных значений этой величины, т. е. пар чисел (xi,yi) и их вероятностей Pij. Закон распределения обычно задают в виде таблицы с двойным входом:
X | x1 | x2 | x3 | … | xn |
Y | |||||
y1 | p11 | p12 | p13 | … | p1n |
Y2 | p21 | p22 | p23 | … | p2n |
… | … | … | … | … | … |
ym | pm1 | pm2 | pm3 | … | pmn |
События () при () образуют полную группу, поэтому
По заданному закону распределения двумерной дискретной величины можно найти законы распределения составляющих. Для того, чтобы найти вероятность события или Y=yi, надо использовать теорему сложения и суммировать вероятности i- го столбца или j -ой строки соответственно
и .
X | x1 | x2 | … | xn |
p | p1 | p2 | … | pn |
Y | y1 | y2 | … | ym | |||
q | q1 | q2 | … | qm | |||
Функция распределения является универсальным способом задания двумерной случайной величины, пригодным как для дискретных систем, так и для непрерывных.
Функцией распределения системы двух случайных величин (X,Y) называется вероятность совместного выполнения неравенств: X<x и Y<y, т.е.
Двумерная случайная величина называется непрерывной, если F (x,y) непрерывна на всей плоскости и существуют частные производные
непрерывные на всей плоскости, за исключением отдельных точек и линий.
Плотностью совместного распределения вероятностей f (x,y) двумерной непрерывной случайной величины (X,Y) называется вторая смешанная частная производная от функции распределения:
Пример 5.1. Двумерная непрерывная случайная величина (X, Y) задана функцией распределения
Найти плотность совместного распределения .
Решение. Найдем производные
следовательно,
|
Функция распределения F (x,y) выражается через плотность распределения f(x,y) следующим образом:
Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности равен единице:
Вероятность попадания случайной точки (X,Y) в область D определяется равенством
Пример 5.2. Двумерная непрерывная случайная величина (X,Y) задана плотностью распределения вероятнотей
.
Найти: a, и вероятность попадания случайной точки в прямоугольник с вершинами .
Решение.
1. Из условия найдем параметр a
=
2.
Чтобы найти плотность распределения случайной величины Х, входящей в систему (Х,Y), надо проинтегрировать двумерную плотность f (x,y) по всем возможным значениям случайной величины Y.
Аналогично получается
Обратно: по известным плотностям fх (x) и fу (y) найти плотность распределения f (x,y) системы в общем случае нельзя. Для решения этой задачи надо еще знать зависимость между этими величинами.
Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина, т.е. плотность распределения f (x,y) распадается на два множителя, один из которых зависит только от х, а другой только от у. В противном случае величины называются зависимыми.
Пример 5.3. Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью распределения вероятностей
. Являются ли случайные величины Х и Y зависимыми?
Решение. Преобразуем f (x, y), разложив знаменатель на множители
;
и , т.е. случайные величины X и Y независимы.
Пример 5.4. Двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена внутри круга радиуса R с центром в начале координат, т.е. в области D:
Проверить, будут ли величины X и Y независимы?
Решение. Найдем плотности распределения fх (x) и fу (y):
Теперь очевидно, что т.е величины X и Y зависимы.
Задачи для самостоятельного решения
1. Двумерная случайная величина задана таблицей
Y | Х | ||
0,5 | 0,1 | 0,3 | 0,25 |
1,5 | 0,15 | 0,15 | 0,05 |
Найти законы распределения составляющих.
|
2. Задана функция распределения двумерной случайной величины
Найти двумерную плотность вероятностей системы.
|
|
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!