Разложение векторов по базисным векторам.

Вектор и его свойства.

Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х ={X₁,X₂,...X_n} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X₁,X₂,X₃). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. | AB |=| a | - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.

1.умножение на число: произведение вектора А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А || В. б) l>0, то А ­­ В, l<0, то А ­¯ В. в)l>1, то А < В,)l<1, то А > В

. 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а /n= a *(1/n).

3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора.

4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а.

 

Действия над векторами.

а =х₁ i +y₁ j +z₁ k; b =х₂ i +y₂ j +z₂ k

l* a =l(х₁ i +y₁ j +z₁ k)= l(х₁) i +l (y₁) j +l(z1) k

a ± b =(x₁±x₂) i +(y₁±y₂) j +(z₁±z₂) k

ab =x₁x₂ ii +y₁x₂ ij +x₂z₁ ki +x₁y₂ ij +y₁y₂ jj + z₁y₂ kj +x₁z₁ ik +y₁z₂ jk +z₁z₂ kk =x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

ii =1; ij =0; и т.д.

скалярное произведение 2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

аа =x²+y²+z²=| a |² a {x,y,z}, aa =| a |*| a |, то a ²=| a| ²

ab =|a|*|b|*cosj

а) ав =0,<=> а ^ в, x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0

б) а || в - коллинеарны, если, x₁/x₂=y₁/y₂=z₁/z₂

Разложение векторов по базисным векторам.

Базисом на плоскости называется совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов, проведенных к ней.

Базисом в пространстве наз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарных векторов.

Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор в пространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве.

ОС = OA + OB, OA =x* i, OB =j*y, OC =x i +y j. Числа х,у наз-ся координатами вектора ОС в данном базисе

 

Координаты вектора. Длина вектора.

а =х₁ i +y₁ j +z₁ k; b =х₂ i +y₂ j +z₂ k

Скалярное произведение векторов.

скалярное произведение 2х векторов а и в наз. число, равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними.

(а, в)- скалярное произведение. а * в =| а |*| в |*cosj, j=p/2, cosp/2=0, a^b=> ab =0. Равенство “0” скаляргного произведения необходимое и достаточное условие их перпендикулярности (ортогональности).

Свойства:

1.(a,b)=(b,a)-симметричность

2.(a,a)=|a|²-скалярный квадрат

3.Если a не равно 0,то (a,b)=a*пр.b на a

4. cosp/2=0, a^b=> ab =0

5.(Aa,b)=A(a,b),A-альфа

6.(a+b,c)=(a,c)+(b,c)

Нахождение угла между векторами.

Деление отрезка в заданном отношении.

Простое отношение трёх точек A,B,C на прямой L называется число (ABC)=AB/BC, которое очевидно равно отношению в котором точка B делит направленный отрезок AC. a-альфа

X=(x₁+ax₂)/(1+a) Y=(y₁+ay₂)/(1+a) Z=(z₁+az₂)/(1+a)

A(x_1; y₁), B(x_2; y₂), C(x_3; y₃)

a=AB/BC=(x₂- x₁)/ (x₃- x₂)= (y₂- y₁)/ (y₃- y₂)

Координаты середины отрезка.

При a=1 получаем

X=(x₁+x₂)/2 Y=(y₁+y₂)/2 X=(z₁+z₂)/2

Получаем координаты середины отрезка.

Общее уравнение прямой.

Сначала запишем ур-е прямой, проходящей через заданную точку ^ заданному вектору.

M₀(x₀,y₀)

 

M₀M {x-x₀,y-y₀}

n* M₀M =0

A(x-x₀)+B(y-y₀)=0

Ax+By-Ax₀-By₀=0

-Ax₀-By₀=C

Ax+By+C=0-общее уравнение прямой на плоскости.

Угол между двумя прямыми.

 

а)

S₁ {l₁,m₁} S₂ {l₂,m₂},

или

p:y=k₁x+b₁, k₁=tgj₁

q:y=k₂x+b₂, k₂=tgj₂ =>tgj=tg(j₂-j₁)=

=(tgj₂-tgj₁)/(1+ tgj₁tgj₂)=

=(k₂-k₁)/(1+k₁k₂).

б) p||q, tgj=0, k₁=k₂

в)p^q,то

Окружность.

Уравнение окружности. Вывод:

общее свойство точек окружности |СМ| = R;

переход к координатной форме общего свойства

Ö(х – а)² + (у – в)² = R, (х – а)² + (у – в)² = R².

Вывод уравнения окружности:

обозначим через М (х, у) произвольную точку линии;

запишем равенством общее свойство всех точек линии;

входящие в это равенство отрезки выразим через текущие координаты (х, у) точки М и другие параметры задачи.

Фигура окружность.

Общее свойство |ОМ| = R.

Ö(х²+ у²) = R.

х²+ у² = R².

Эллипс.

Кривая второго порядка наз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки

Аx²+Cy²=d

ур.-е

наз. канонич. ур.-ем эллипса, где При а=в представляет собой ур-е окружности х²+y²=а²

 

Точки F₁(-c,0) и F₂(c,0) - наз. фокусами эллипса а.

Отношение e=с/а наз. его эксцентриситетом (0<=e<=1)

Точки A₁,A₂,B₁,B₂ -вершины эллипса.

Св-во:
Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянной, =2а.

Гипербола.

Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии Ax²+Cy²=d, коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т.е. А*С<0

б) Если d>0, то каноническое ур-е гиперболы примет вид: x²/a²-y²/b²=1, F1(c,o) и F₂(-c,0) - фокусы ее, e>0, e=c/a - эксцентриситет.

Св-во:
для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная = 2а.

б) если d=0, ур-е примет вид x²/a²-y²/b²=0, получаем 2 перекрестные прямые х/а±у/b=0

в) если d<0, то x²/a²-y²/b²=-1 - ур-е сопряженной гиперболы.

Парабола

Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax², где х и у - текущие координаты, а- нек. число, наз. параболой.

Если вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид

y²=2px-симметрично отн. оси ОХ

х²=2pу-симметрично отн. оси ОУ

Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса.

Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2

Св-ва:

1. парабола предст. собой ¥ точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax².

Матрицы и их виды.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы.

Транспонированная матрица

A= A^T=

Диагональная матрица

Единичная матрица

Матрица при * на которую любая матрица остаётся неизменной.Диагональная матрица с 1 диагональными элементами.

Е=

Нулевая матрица

Матрица все элементы которой нули.

Умножение матриц.

Транспонированная матрица

A= A^T=

 

Обратная матрица.

Асимптоты к графику функции

Асимптота - прямая, к которой график ф-ции стремится, но никогда ее не пересекает.

1) прямая х=х₀ назыв-ся вертикальной асимптотой графика ф-ции f(x)=y, если при х®х₀ |f(x)|®+¥ (вида x=b)

2) y=kx+b,,y=f(x) - общее ур-е наклонной асимптоты

lim[f(x)-(kx+b)]=0, f(x)=kx+b+a(б.м.в.) по св-ву x®¥ пределов.

разделим левую и правую части на х. Возьмем предел при х®¥

f(x)/x=k+b/x+a/x, lim(f(x)/x)=limk+lim(b/x)+lim(a/x)

x®¥

, то

k=lim(f(x)/x)

b=lim[f(x)-kx]

Если эти пределы существуют, то существует и наклонная ассимптота вида kx+b=y

3)k=lim(f(x)/x)=0, y=b - горизонтальная асимптота.

Уравнение касательной.

Уравнение нормали.

y-f(x₀)=-1/f’(x₀)(x-x₀)

Производная сложной функции (на примерах).

Производная неявной функции (на примерах).

Производные высших порядков (на примерах).

Производные высших порядков (показать на примерах)

Пример 1

Исследовать и построить график функции

1). Заметим, что знаменатель имеет корни 1 и 2, так что функцию можно представить в виде

Т.к. , отсюда следует, что области определения функции

2)Определим тип функции, т.е. четная,нечетная или общего вида функция.

3) ,следовательно x=1 и x=2 является точкой разрыва II рода, что в свою очередь

Даёт нам две вертикальные ассимптоты.

4)С ox: y=0

C oy: x=0

Пользуясь методом интервалов (известным из школьной программы), определим знак функции на интервалах между корнями и точками разрыва. Таких интервалов получается пять:

На этом рисунке знаком + отмечены те интервалы, на которых функция положительна, и знаком - те, где она отрицательна.

5) Найдём производную:

Решением квадратного неравенства служит интервал

6) Найдём вторую производную:

7)Построение графика.

 

Вектор и его свойства.

Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х ={X₁,X₂,...X_n} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X₁,X₂,X₃). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. | AB |=| a | - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.

1.умножение на число: произведение вектора А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А || В. б) l>0, то А ­­ В, l<0, то А ­¯ В. в)l>1, то А < В,)l<1, то А > В

. 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а /n= a *(1/n).

3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора.

4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а.

 

Действия над векторами.

а =х₁ i +y₁ j +z₁ k; b =х₂ i +y₂ j +z₂ k

l* a =l(х₁ i +y₁ j +z₁ k)= l(х₁) i +l (y₁) j +l(z1) k

a ± b =(x₁±x₂) i +(y₁±y₂) j +(z₁±z₂) k

ab =x₁x₂ ii +y₁x₂ ij +x₂z₁ ki +x₁y₂ ij +y₁y₂ jj + z₁y₂ kj +x₁z₁ ik +y₁z₂ jk +z₁z₂ kk =x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

ii =1; ij =0; и т.д.

скалярное произведение 2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

аа =x²+y²+z²=| a |² a {x,y,z}, aa =| a |*| a |, то a ²=| a| ²

ab =|a|*|b|*cosj

а) ав =0,<=> а ^ в, x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0

б) а || в - коллинеарны, если, x₁/x₂=y₁/y₂=z₁/z₂

Разложение векторов по базисным векторам.

Базисом на плоскости называется совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов, проведенных к ней.

Базисом в пространстве наз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарных векторов.

Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор в пространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве.

ОС = OA + OB, OA =x* i, OB =j*y, OC =x i +y j. Числа х,у наз-ся координатами вектора ОС в данном базисе