Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2017-12-12 | 193 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда. Интеграл вида . Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx. Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную._1_, _2_ Тогда _3_
Таким образом: _4_ Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой. Интеграл вида еслифункция R является нечетной относительно cosx. Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx. ункция может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx. 1 способ. Тригонометрическая подстановка. Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost. Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.
1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Теорема существования определенного интеграла (без док-ва). Геометрический смысл определенного интеграла.
Определенный интеграл.
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x). Рис 1. Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b] Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками. x0 < x1 < x2 < … < xn Тогда x1 – x0 = Dx1, x2 – x1 = Dx2, …,xn – xn-1 = Dxn; На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции. [x0, x1] ® m1, M1; [x1, x2] ® m2, M2; … [xn-1, xn] ® mn, Mn. Составим суммы: (далее_4_)n = m1Dx1 + m2Dx2 + … +mnDxn = (_2_n)= M1Dx1 + M2Dx2 + … + MnDxn = Сумма _4_ называется нижней интегральной суммой, а сумма _2_ – верхней интегральной суммой. Т.к. mi £ Mi, то _4_n £ _2_n, а m(b – a) £ _4_n £ _2_n £ M(b – a)Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e. x0 < e1 < x1, x1 < e < x2, …, xn-1 < e < xn.Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b]. Sn = f(e1)Dx1 + f(e2)Dx2 + … + f(en)Dxn = Тогда можно записать: miDxi £ f(ei)Dxi £ MiDxi Следовательно, Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной. Обозначим maxDxi – наибольший отрезок разбиения, а minDxi – наименьший. Если maxDxi® 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности. Если (8), то (_9_) Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDxi® 0 и произвольном выборе точек ei интегральная сумма _8_ стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b]. Обозначение: (_10_) а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования. Определение: Если для функции f(x) существует предел _9_=_10_ то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b]. Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.
|
2. Свойства определенного интеграла, вытекающие из определения.
Свойство 1. Производная от определённого интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела. То есть
|
Свойство 2. Определённый интеграл от суммы функций равен сумме неопределённых интегралов
Свойство 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла
Свойство 4. Если на отрезке [a,b], где a < b, функции f(x) и g(x) удовлетворяют условию f(x) ≤ g(x), то
Свойство 5. Если m и M - наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a,b] и a ≤ b, то
Свойство 6. Если поменять местами верхний и нижний пределы интегрирования, то определённый интеграл изменит знак
Свойство 7. Для любых трёх чисел a, b, c справедливо равенство
если только все три интеграла существуют.
Свойство 8 (Теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке найдётся такая точка c, что справедливо равенство:
3. Теорема об оценке определенного интеграла. Теорема о среднем. Геометрический смысл.
Теоремы об оценке интеграла.
5.1. Если на отрезке [a,b] функция удовлетворяет неравенству m≤f(x)≤M, то
Док-во. Докажем левое неравенство (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств):
Аналогично доказывается и правое неравенство.
5.2. Если функция f(x) интегрируема по отрезку [a,b], то
Док-во.
6. Теорема о среднем.
Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка, такая что
Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда
заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка, такая что
Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если f(x) ≥ 0 непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка такая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием [a,b] и высотой f(c) (на рисунке выделен цветом).
Геометрический смысл доказанных неравенств таков: площадь криволинейной трапеции больше площади прямоугольника с основанием, равным основанию трапеции, и высотой, равной наименьшей ординате трапеции, и меньше площади прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной наибольшей ординате трапеции (рис. 1).
Находя границы для интеграла, мы, как говорят, производим его оценку. Может случиться, что весьма трудно или даже невозможно найти точное значение интеграла, а оценивая его, мы узнаем, хотя бы грубо, приближенное его значение. С такого рода оценками приходится довольно часто встречаться в математике.
|
Указанные в теореме об оценке определенного интеграла границы для интеграла тем более точны, чем короче интервал интегрирования и чем меньше линия y=f(x) отличается по положению от прямой, параллельной оси Ox.
4. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Производная от определенного интеграла с переменным верхним пределом. Связь определенного интеграла с неопределенным. Формула Ньютона-Лейбница.
|
|
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!