Свойства функций, непрерывных в точке

1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке .

2. Если функция непрерывна в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой .

Доказательство этого свойства основывается на том, что при малых приращениях аргумента можно получить как угодно малое приращение функции в окрестностях не изменится.

3. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке . Доказательство состоит в том, что малому приращению аргумента соответствует как угодно малое приращение , приводящее в свою очередь к непрерывности функции к как угодномалому приращению .

Свойство можно записать: ,

Т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Определение. Функция называется непрерывнойна промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Точки разрыва функции

Определение. Если в какой-нибудь точке для функции не выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности, то эта точка называется точкой разрыва функции.

Причем: 1) Если существуют конечные односторонние пределы функции, неравные друг другу: , то точка - точка разрыва I рода.

2) Если хотя бы один из односторонних пределов функции или равен бесконечности или не существует, то точка - точка разрыва II рода.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

1. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке. (рис. 1.1)

2. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения и наибольшего значения (теорема Вейерштрасса). (рис. 1.2)

3. Если функция непрерывна на отрезке и значения ее на концах отрезка и имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка такая, что . (Теорема Больцано-Коши.)

Пример. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции . Установить характер разрыва.

Решение. При функция не определена, следовательно, функция в точке терпит разрыв: , а . Так как односторонние пределы бесконечны, то - точка разрыва второго рода.

 

Производная и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке.

Определение производной

Пусть на некотором промежутке Х определена функция y=f (x). Возьмем любую точку _. Зададим аргументу х произвольное приращение ∆ х ≠ 0 такое, что точка х +∆ х также будет принадлежать Х. Функция получит приращение ∆ у = f (x +∆ х)− f (x).

Определение. Производной функции y=f (x) в точке х называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует).

Для обозначения производной функции y=f (x) в точке х используются символы у ′(х) или f′ (x).

Итак, по определению, .

Если для некоторого значения х ₀ выполняется условие

или ,

т.е. пределы равны бесконечности, то говорят, что в точке х ₀ функция имеет бесконечную производную.

Если функция y=f (x)имеет конечную производную в каждой точке , то производную f′ (x) можно рассматривать как функцию х, также определенную на Х. Нахождение производной функции называется дифференцированием функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Задача о касательной

Пусть на плоскости дана непрерывная функция и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке .

Уравнение прямой по точке , принадлежащей этой прямой, и угловому коэффициенту имеет вид: , где , ( - угол наклона прямой). Из (рис.5.1) найдем тангенс угла наклона секущей : . Если точку приближать к точке , то угол будет стремиться к углу , т.е. при . Следовательно, .

Из задачи о касательной следует геометрический смысл производной: производная f′ (x ₀) есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой у=f′ (x) в точке х ₀, т.е. k= f′ (x ₀).

Следовательно, уравнение касательной к кривой y=f (x) в точке х ₀ примет вид

Пример. Найти производную функции f (x)= х ².

Решение. Придавая аргументу х приращение ∆ х, найдем соответствующее приращение функции:

Составим отношение:

Найдем предел этого отношения при ∆ х → 0: