Устойчивость продольно сжатых стержней

Теоретическая часть

При изучении явления продольного изгиба необходимо обратить внимание на то, что при сжатии длинных стержней бывают случаи, когда при постепенном увеличении нагрузки резко меняется форма равновесия и напряженное состояние, в результате чего может быть внезапное разрушение.

Если сжимающие силы будут больше предельной величины, то ось стержня изогнется, и стержень будет подвергаться, кроме сжимающей силы, изгибающему моменту (рисунок 38 а, б).

Рисунок 38- Продольный изгиб

 

где F – действующая на стержень сжимающая сила,

F_кр – критическая сила, т.е. сжимающая центрально приложенная сила, при которой стержень еще устойчиво сохраняет прямолинейную форму равновесия.

Величина критической силы определяется по формуле Эйлера:

, (11)

где Е – модуль упругости 1 рода материала стержня,

μ – коэффициент приведения длины стержня,

I_min – наименьший осевой момент инерции сечения,

ℓ - длина стержня,

F_kp – величина критической силы.

Зная величину критической силы F_kp и площадь сечения стержня А, можно определить величину критического напряжения:

, (12)

так как представляет собой радиус инерции сечения и

- есть гибкость стержня, то величина критического напряжения выражается формулой:

(13)

Нужно обратить особое внимание на предел применимости формулы Эйлера . При гибкости, меньше предельной формула Эйлера неприменима, расчет стержня на устойчивость выполняют по эмпирической формуле Ясинского

(14)

где a и b – коэффициенты, зависящие от материала.

Следует также четко представлять себе, что при расчетах на устойчивость в отличие от расчетов на прочность предельное напряжение (здесь – критическое напряжение σ_кр) зависит не только от материала бруса, но и его геометрических размеров, формы сечения, а также от способа закрепления концов.

В обоих случаях λ</>λ_пред расчет стержня на продольный изгиб можно вести при помощи коэффициента понижения допускаемого напряжения на простое сжатие. Расчетная формула имеет вид:

, коэффициент φ зависит от гибкости и материала стержня.

Практическая часть

Задача 1. Дано: F=300кH; l=2,3м;

 

Рисунок 39- Схема нагружения стержня продольной силой F

 

Решение:

1 В первом приближении задаемся . Тогда из условия устойчивости:

находим:

Площадь сечения

2 Проверим устойчивость принятого сечения стержня

Определим общую длину стержня

Где - для данного вида закрепления стержня.

Определим момент инерции сечения относительно оси Z:

Определим момент инерции сечения относительно оси Y:

Определим радиусы инерции сечения

Определим гибкость стержня относительно осей Z и У

Для наибольшего значения гибкости определим коэффициент

Определим расчетное напряжение в сечении

Стержень перегружен

Принимаем во втором приближении среднее значение

Для наибольшего значения гибкости определим коэффициент

Определим расчетное напряжение в сечении

Стержень перегружен

Принимаем в третьем приближении среднее значение

Для наибольшего значения гибкости определим коэффициент

Определим расчетное напряжение в сечении

Перегруз равен что допустимо

Окончательно принимаем

Найдем критическое значение силы

Коэффициент запаса

Задача 2. Стальной стержень длиной l = 2,3 м сжимается силой Р = 300 кН. Условия закрепления стержня и форма его перечного сечения показаны на рисунке 40.

Рисунок 40 - Условия закрепления стержня и форма его перечного сечения

 

Требуется найти:

1) размеры поперечного сечения стержня

2) величину критической силы и коэффициент запаса устойчивости при допускаемом напряжении на сжатие σ = 160 МПа.

 

Вопросы для самопроверки

1 В чем заключается явление потери устойчивости сжатого стержня?

2 Какая сила называется критической?

3 По какой формуле находится величина критической силы?

4 Какая величина называется гибкостью стержня?

5 По какой формуле определяется критическое напряжение?

6 Чему равен коэффициент длины, для различных случаев закрепления концов стержня?

7 В каких случаях можно пользоваться формулой Эйлера?

8 Как находится критическое напряжение для стержней малой и средней гибкости?

9 Как производится расчет стержней на устойчивость?