Амплитудным и линейным фазовым распределением возбуждения излучателей

1. Множитель системы.

Положим в (3)

, (4)

где Φ ₀ – разность фаз в ФР между соседними излучателями. Выражение (4) определяет равномерное АР и линейное ФР (для упрощения выражений и без ограничения общности значение амплитуд выбрано равным единице). Подставляя l_n, преобразуем (3) к виду

. (5)

Сумма в выражении (5) является суммой N членов геометрической прогрессии, и по известным правилам равна

, (6)

где a ₁ – первый член прогрессии, q – знаменатель прогрессии. Причем, в (5)

, (7)

. (8)

Подставляя (7), (8) в (6), получим

.

Далее выполним следующие преобразования:

вынесем из числителя за знак скобок множитель ;

из знаменателя вынесем за знак скобок множитель ;

учтем, что модуль от экспоненты с мнимым показателем степени равен единице, и используем формулу Эйлера .

В результате преобразований получим

, (9)

где введена обобщенная координата

. (10)

2. Анализ множителя системы.

Рассмотрим выражение (9), предварительно пронормировав его. Для этого найдем максимальное значение, достигаемое при ψ = 0. Возникающую при вычислении неопределенность типа 0/0 раскроем путем предельного перехода ψ →0 и заменяя синус его аргументом

.

Полученное значение и есть максимальное значение множителя системы. С учетом этого из выражения (9) получаем для нормированного множителя системы следующее выражение:

. (11)

 

Рис. 3. Графики функций, определяющих системный множитель.

 

Исследуем множитель системы как функцию обобщенной угловой координаты ψ. Введем для правой части (11) обозначение:

. (12)

Функция F_c (ψ) – периодическая, т.к. является отношением двух периодических функций. Причем период F_c (ψ) равен б о льшему из периодов, т.е. равен π – периоду функции |sin(ψ)|. Рассмотрим функцию F_c (ψ) на периоде изменения 0…π. При ψ = 0 значение F_c (ψ) равно 1. В силу периодичности, также и при ψ = π будет F_c (ψ) = 1. В качестве примера на рис. 3 приведен график функции F_c (ψ) и графики составляющих ее элементов для случая N = 5.

Отметим, что знак ψ может быть и положительным и отрицательным. На рис. 4 показан график функции F_c (ψ) в пределах нескольких периодов изменения и с различным знаком ψ.

 

 

Рис. 4. Графический анализ системного множителя.

 

Часть графика, выделенная штриховкой, соответствует изменению угла θ в интервале с границами ±90°. Из (10) для граничных значений ψ следует

, (13)

. (14)

Соответствующий интервал Δψ получается равным:

.

В области (-90°) ≤ θ ≤ 90° множитель системы имеет несколько главных лепестков, между которыми расположены боковые лепестки. Число боковых лепестков равно N-2 (на 2 меньше, чем число излучателей решетки). Чем больше d / λ, тем больше величина Δψ и больше главных лепестков в области доступных для реализации значений θ.

Главные лепестки имеют направления, определяемые условием

, (15)

где n = 0, ±1, ±2, ±3,.... Лепесток, соответствующий ψ = 0, называется нулевым. Обозначим направление лепестка с номером n символом Θ_mn. Из выражений (15) и (10) следует условие, определяющее величину Θ_mn:

. (16)

Учитывая, что k = 2 π / λ, из выражения (16) получаем

. (17)

В частности, для главного лепестка

. (18)

Антенная решетка проектируется так, чтобы ее диаграмма направленности имела только один главный лепесток (с n = 0).

 

3. Условие единственности главного максимума.

Анализируя графики на вышеприведенном рисунке, получим следующие условия единственности главного лепестка (нулевого):

,

.

С учетом (13), (14), (18) получим

,

.

Далее, подставляя k = 2 π / λ, преобразуем неравенства к виду

,

.

Оба неравенства можно объединить в одно, учтя при этом, что угол Θ_{m 0} может быть как положительным, так и отрицательным

. (20)

Данное неравенство в окончательном виде выражает условием единственности главного максимума диаграммы направленности антенной решетки.

 

4. Параметры диаграммы направленности антенной решетки.

Параметрами ДН являются ширина главного лепестка на уровне ≈ 0.707 от максимального значения 2 Θ _0,7 и максимальный уровень боковых лепестков F_бmax. При выполнении условия единственности главного максимума и достаточно большом числе излучателей (N >> 1) главный максимум функции (12) расположен в области малых значений ψ. Тогда в пределах главного лепестка можно полагать и использовать приближенное выражение

.

Ширина главного максимума функции sin(x)/ x (где обозначено x = Nψ) на уровне 0.707 равна Δx _0.7 = 2.78. Пересчет значений x в значения угловой переменной θ на основе соотношения (10) дает

. (21)

Отметим, что использованное условие при | Nψ | < 2.78 с приемлемой для практики точностью выполняется при N > 6.

В боковых максимумах функции (12) реализуются условия

,

так что величина боковых максимумов будет

.

В частности для 1-го (p = 1) и наибольшего максимума имеем , что приблизительно на 13 дБ меньше главного максимума.

Для уменьшения уровня боковых лепестков амплитудное распределение делают спадающим к краям решетки.

 

5. Сканирование в антенной решетке.

Из выражений (17), (18) следует, что направление главных максимумов множителя системы зависит от разности фаз между соседними излучателями Φ ₀. Рассмотрим направление нулевого главного максимума в пространстве, считая, что условие его единственности (20) выполнено. Из выражения (18) следует, что при Φ ₀ = 0 (для синфазной решетки) Θ_{m 0} = 0, при Φ ₀ < 0 (при уменьшении фазы возбуждения излучателей по линейному закону от первого излучателя до N -го) Θ_{m 0} > 0, при Φ ₀ > 0 (при увеличении фазы возбуждения излучателей по линейному закону от первого излучателя до N -го) Θ_{m 0} < 0.

Таким образом, при изменении разности фаз между соседними излучателями происходит перемещение диаграммы направленности решетки по углу θ. В антенных решетках изменение величины Φ ₀ производится с помощью электрически управляемых фазовращателей, которые строятся с применением намагничиваемых ферритов или p-i-n диодов. Поэтому сканирование в антенных решетках производится без каких-либо механических перемещений элементов и называется электрическим (или электронным).

 

6. Закономерности сканирования.

Диаграмма направленности антенной решетки определяется выражением (2). Соответственно нормированная диаграмма имеет вид

,

Как правило, F₁(θ, φ) зависит от θ слабее, чем F_c (θ). На рис. 5 приведены диаграмма направленности одного излучателя F ₁(θ, φ), множитель системы F_с (θ) и диаграмма направленности решетки. При этом направление главного максимума множителя системы отклонено от нормали к оси решетки.

 

Рис. 5. Графический анализ изменений в ДН решетки при сканировании.

 

Анализируя рисунок, можно сделать следующие выводы:

а) при сканировании, т.е. при изменении угла Θ_{m 0}, меняется величина F_max по закону F ₁(Θ_{m 0}) – чем больше угол Θ_{m 0}, тем меньше F_max;

б) коэффициент направленного действия решетки пропорционален квадрату диаграммы направленности и, следовательно, КНД в направлении главного максимума ДН решетки пропорционален (F_max)² и меняется при сканировании. КНД максимален при Θ_{m 0} = 0, т.к. при этом F_max = 1. При проектировании антенной решетки задается требуемый сектор сканирования, т.е. сектор, в пределах которого должен меняться угол Θ_{m 0}. Этот сектор обозначается символом 2 Θ_ск и требуется, чтобы . В секторе сканирования КНД не должен меняться более, чем в допустимых пределах. Поскольку КНД минимален на границах сектора сканирования, требование по допустимому уменьшению КНД при сканировании накладывает ограничение на величину сектора сканирования. Часто допустимым считается уменьшение КНД на границах сектора сканирования в 2 раза. Из сказанного следует, что для расширения сектора сканирования необходимо увеличивать ширину главного лепестка ДН одного излучателя;

в) при сканировании в антенной решетке происходят изменение формы главного лепестка ДН: чем больше угол Θ_{m 0}, тем больше его ширина и тем больше его асимметрия. В линейных и плоских антенных решетках обычно сектор сканирования 2 Θ_ск не превосходит 60°.