Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-12-10 | 303 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Мы никак не мотивировали операцию сложения матриц, но едва ли это вызвало недоумение в силу своей естественности. Операция умножения матриц уже не обладает этим качеством.
Пусть A = (aij) (n x m), B = (bij) (n x p). Под произведением АВ понимают матрицу С с элементами cij
cij =
АВ:= С= (сij) (m x p).
Например, А = и В = .
Тогда AВ =
5=1*0 + 2*1 + 3*1
6=1*1 + 2*1 + 3*1
7= 1*4 + 2*0 + 3*1 и т.д.
Берется i-тая строка матрицы А и j-тый столбец матрицы В, перемножаются покомпонентно и результаты складываются. Это есть элемент матрицы С на позиции i,j.
Свойство. Произведение матриц не коммутативно, т.е. АВ¹ВА, в том числе и квадратных.
Пример (доказывающий свойство):
=
Замечание 1. Запись A = (aij) (n x m) обозначает, что матрица А имеет размеры
m x n.
Замечание 2. В двойной сумме результат суммирования не зависит от порядка суммирования, т.е.
, ибо левая часть равенства и правая часть есть сумма элементов матрицы .
Теорема (об ассоциативности произведения матриц).все но
Пусть А, В, С — матрицы над числовым полем Р такие, что определено произведение АВ и ВС. Тогда имеют смысл произведения (АВ)С, А(ВС) и верно равенство (АВ)С = А(ВС).
< Пусть A = (aij) (n x m), B = (bij) (n x p), C=(cij) (p x s). Они подходящих размеров, чтобы было определено AB и BC. Введем обозначения АВ =(dij) (m x p), BC = (lij) (n x s), A(BC) =(fij) (m x s), (AB)C = (rij) (m x s). Матрицы A(BC) и (AB)C одинаковых размеров. Требуется проверить, что fij = rij. Выразим fij и rij через элементы матриц А, В, С:
fij= = =
.
Полученные суммы отличаются лишь порядком суммирования, что не влияет на результат (по замечанию 2). >
Определение. Произведение нескольких матриц определим индуктивно, т.е. если имеем k матриц, то их произведение определим следующим образом: (A1,..., A(k-1)) Ak
|
Упражнение. Доказать, что в произведении нескольких матриц скобки можно расставлять как угодно.
Указание. Воспользоваться ассоциативностью.
Теорема 2. Пусть A = (aij) (n x m). Тогда AEn = EmA = A, где Е — единичная матрица подходящего размера.
< Доказательство проводится непосредственной проверкой равенства:
=
Аналогично доказывается, что EmA = А.>
Теорема 3. Пусть A = (aij) (n x m). Тогда АО (n x s) = O (m x s), где О — нулевая матрица подходящего размера.
< Произведение таких матриц будет матрицей размером m x s. Каждый элемент, очевидно, будет равен 0. >
Теорема 4. (дистрибутивность умножения матриц относительно сложения матриц).
(А + В)С = АС + ВС, где С — матрица подходящего размера, A и B — матрицы одинаковых размеров.
< Пусть A = (aij) (n x m), B = (bij) (m x n), C=(cij) (n x p). Понятно, что (А + В)С и АС + ВС одинаковых размеров. Чтобы доказать их равенство, надо показать, что на одних и тех же местах стоят одни и те же элементы.
Следующее равенство доказывает теорему:
элемент на элемент элемент на
позиции I,j на позиции позиции I,j
матрицы I,j матрицы матрицы
(A + B)C AC AB
ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ.
Определение 1. Пусть A = (aij) (n x m). Транспонирование матрицы — это такое ее преобразование, при котором строка с номером i записывается в столбец с тем же номером.
Обозначение: Аt, Аtr, А'.
Пример:
, то .
Теорема 5. Имеют место следующие равенства:
1. (Аt)t = A.
2. (αA + βB)t = αAt + βBt.
3. (AB)t = ВtАt .
Причем, А и В — матрицы подходящих размеров, α и β — любые числа.
< 1. А = (аij)m x n
(A)t = (аji)n x m Þ (Аt)t = A.
3. Пусть имеем А = (аij)m x n и B = (bij)n x s. Тогда A(^t) = ( ij) (m x n), B (^t)=( ij) (s x m), AB = (cij) (m x s), (BА)(^t) = (dij)(s x m)
Матрица В(^t)A(^t) и AB)(^t)одинаковых размеров, и чтобы доказать, что В(^t)A(^t) = (AB)(^t), надо показать, что на одинаковых местах стоят одинаковые элементы.
Мы получили, что на позиции ij у матрицы В(^t)A(^t) и матрицы AB)(^t) стоит один и тот же элемент. >
Определение 2. Матрица А называется симметрической, если A(^t) = А, и кососимметрической, если A(^t) = -А.
Пример. Симметрическая матрица:
|
кососимметрическая матрица:
ПЕРЕСТАНОВКИ.
Пусть X — непустое множество элементов произвольной природы, так как природа элементов для нас несущественна, то в случае конечного множества считаем X ={1,2,3,…,n}
Определение 1. Любое упорядоченное расположение элементов множества X называется перестановкой множества X.
Пример:
Если X ={1,2,3,4,5}, то (2,5,3,4,1) - перестановка множества X.
Перестановку элементов множества X обозначают(a1,a2,…,an), причем среди ai (i = 1,2,…, n) нет равных.
Определение 2. Две перестановки множества X называются равными, если у них на одинаковых местах стоят одинаковые элементы.
Теорема 1.Число различных перестановок множества из n элементов равно n!
< Докажем эту теорему индукцией по числу n. При n=1 имеется одна перестановка, т.е. 1!.
Пусть n>1 и число различных перестановок, которые можно составить из заданных (n-1) элементов, равно (n-1)!. Всякая перестановка данных элементов с фиксированным первым числом а имеет вид:
a1,a2,…,an.
где a2,…,an произвольная перестановка оставшихся (n-1) элементов. По индуктивному предположению число таких перестановок равно (n-1)!. В качестве а, можно взять любой из данных n элементов, поэтому число различных перестановок заданных n элементов равно сумме n слагаемых, каждое из которых есть(n-1)!, т.е. n! >
Определение 3. Будем говорить, что в перестановке чисел (a1,a2,…,an) два числа ai,aj образуют инверсию если ai>aj, но i < j. В противном случае ai,aj образуют порядок.
Пример:
В перестановке (1 3 4 2) инверсии: 4,2; 3,2, а остальные пары образуют порядок.
Определение 4. Количество пар чисел, образующих инверсию в перестановке, называют числом инверсий данной перестановки. Отображение X®X будем называть преобразованием множества X.
Пусть множество X состоит не менее чем из двух элементов a,bÎX.
Определение 5. Преобразование множества Х называют транспозицией элементов a и b, если , , " x¹a,b.Такое преобразование обозначают (a,b).
Определение 6. Перестановку называют четной, если число инверсий в ней четно, и нечетной в противном случае.
Теорема 2.Однократное применение транспозиции к перестановке изменяет ее характер четности на противоположный.
< Пусть имеется перестановка (a1,…,a,…,b,…an) (1). Применим к ней транспозицию(a,b), получим(a1,…,b,…,a,…an) (2). Рассмотрим несколько случаев:
1. Пусть a и b стоят рядом. Если a и b в (1) образуют инверсию, то (2) образуют порядок. Поэтому характер четности изменяется на противоположный, ибо число инверсий изменяется на единицу.
|
2. Пусть a и b не стоят рядом (a1,…,a,…,b,…an). От (1) к (2) можно перейти следующим способом: a менять с рядом стоящим элементом дойти до b и b перегнать на место a. Всего нам придется применить S+1+S=2S+1 транспозиций соседних чисел, где S число элементов между a и b, поэтому характер четности перестановок (1) и (2) различны.>
Следствие. При n³2 число четных перестановок равно числу нечетных перестановок и равно n!/2.
< Пусть число четных перестановок равно S, нечетных — T. Если к каждой четной перестановке мы применим транспозицию двух элементов, мы превратим их в нечетные S£T, аналогично наоборот T £S Þ T=S
n!=S+T =2S
S=T=n!/2. >
Теорема 3.Пусть даны две различные перестановки одних и тех же чисел, тогда существует последовательность транспозиций переводящих первую перестановку во вторую.
< Пусть (a1,a2,…,an) (3) (b1,b2,…,bn) (4)
есть произвольные перестановки из n чисел. Если a1¹a2, то применив к перестановке (3) транспозицию (a1,b2) получим перестановку n чисел вида
(b1,l2,l3,…,ln) (5)
Если l2¹b2, то к перестановке (5) применим транспозицию (l2,b2).В результате получим перестановку (b1,b2,r3,…rn). Продолжаем этот процесс получаем требуемое.>
ПОДСТАНОВКИ.
Пусть X®X, при этом если — биективно, то часто называют подстановкой. Мы ограничимся случаем, когда число элементов конечно, и равно n.
X ={1,2,3,…,n}, тогда отображение можно записать в виде таблицы:
(1)
Если подстановка, тогда — перестановка. Запись отображения в виде таблице (1) позволяет хорошо перемножать отображения.
Пример.
Теорема 1. Всякая подстановка конечного множества, содержащая не менее двух элементов, может быть представлена в виде произведения транспозиций.
< Пусть имеем = .Согласно теореме 3 предыдущего параграфа, существует последовательность транспозиций переводящая первую перестановку во вторую, пусть это будет следующая последовательность транспозиций t1,t2,…,tn. Тогда очевидно, что , ибо отображения действуют на одном и том же множестве и результат их действия одинаков. >
|
Замечание. Разложение подстановки в произведение транспозиций, вообще говоря, неоднозначно.
Теорема 2. Характер четности числа сомножителей во всех разложениях подстановки в произведение транспозиций один и тот же.
◄ Пусть подстановка вида (1) разлагается в произведение k транспозиций. Это значит, что существует последовательность k транспозиций, переводящая перестановку (1,2,…,n) (2) в перестановку (3). Однократное применение транспозиции меняет характер четности перестановки, поэтому k — четное число тогда и только тогда, когда перестановки(2) и (3) одного характера четности. Это и доказывает теорему. >
Определение 1. Подстановка называется четной, если она разлагается в произведение четного числа транспозиций, и нечетная в противном случае.
Упражнение. Число четных подстановок равно числу нечетных и равно n!/2.
|
|
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!