Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2017-12-10 | 395 |
5.00
из
|
Заказать работу |
По определению предела числовой последовательности ряд
сходится в данной области, если, как бы мало ни было число , можно указать такое целое число N, что при всех выполняется неравенство . В этом случае для функциональных рядов могут представляться два случая:
1. Можно найти число N, общее для всех значений х, входящих в область сходимости ряда, в этом случае записанный выше ряд называется равномерно сходящимся в данной области.
2. Такого общего числа N для всех х, лежащих в области сходимости, нет: каково бы ни было n, найдется в области сходимости такое число х, что . В этом случае в данной области ряд сходится неравномерно.
Признак (Вейерштрасса) равномерной сходимости ряда
Ряд равномерно сходится в данной области, если существует такой сходящийся числовой ряд положительных членов, что для всех значений х, лежащих в этой области, имеет место неравенство: . В этом случае числовой ряд называется можорантой функционального ряда .
Пример. Ряд – равномерно сходящийся в любой области,
т. к. числовой ряд – абсолютно сходящийся и .
(Числовой ряд – сходящийся ряд Дирихле).
Ряды Тейлора
12.5.1. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ
В РЯД ТЕЙЛОРА
(по степеням где – фиксированная точка). Если непрерывная функция бесконечное число раз дифференцируема в окрестности точки , то она может быть представлена в виде ряда Тейлора:
12.5.2. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ
В РЯД ТЕЙЛОРА
называется достаточным условием сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции и заключается в следующем. Чтобы ряд Тейлора сходился к порождающей его функции т. е. сумма ряда Тейлора совпадала с данной функцией: достаточно, чтобы где остаточный член и (форма Лагранжа).
Пример. Разложить в ряд Тейлора функцию по степеням .
Решение. Запишем ряд Тейлора для данной функции при
и вычислим значения данной функции и ее производных в точке
……………….. ……………….
Найденные значения подставим в ряд Тейлора и получим разложение данной функции по степеням :
Исследуем сходимость этого ряда по признаку Даламбера:
Решая последнее неравенство, находим интервал
Границы этого интервала исследуем особо.
Подставляя в ряд , затем , получим числовые ряды и , которые расходятся, так как для каждого из этих рядов
Следовательно, интервал сходимости полученного ряда Тейлора для функции есть промежуток .
Замечание. Исследуя остаточный член формулы Тейлора, можно убедиться, что полученный ряд сходится к данной функции именно на указанном интервале.
РЯД МАКЛОРЕНА
Если то ряд Тейлора называется рядом Маклорена и разложение функции в ряд Маклорена называется разложением функции по степеням х и имеет следующий вид:
Замечание. Значение функции и суммы ряда совпадают лишь в точках области сходимости.
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!