История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-12-09 | 208 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть дано , , тогда выражение вида называется линейной комбинацией векторов , линейная комбинация называется тривиальной, если (тривиальная комбинация векторов = ).
Линейно независимая комбинация векторов – система векторов называется линейно независимой, если только тривиальная комбинация этой системы равна нулевому вектору.
Линейно зависимая комбинация векторов - система векторов называется линейно зависимой, если в линейной комбинации этих векторов равной нулевому вектору есть хотя бы один не нулевой коэффициент.
Свойства линейной комбинации векторов:
1) пусть содержит линейно зависимую подсистему векторов , тогда система является линейно зависимой.
Доказательство:
Система векторов линейно зависимая система => по определению есть
Рассмотрим систему, пусть все коэффициенты кроме , равны нулю :
прибавим к этой системе ; получим систему , причем и => по определению система является линейно зависимой.
2) пусть является линейно независимой системой векторов, тогда любая её подсистема является линейно независимой.
Доказательство:
Предположим содержит линейно зависимую систему векторов, тогда по первому свойству система будет линейно зависимой, это противоречит условию => предположение неверно => система не может содержать линейно зависимую подсистему => любая её подсистема является линейно независимой.
3) если система векторов содержит хотя бы один нулевой вектор, тогда система векторов является линейно зависимой.
Доказательство:
Рассмотрим такую линейную комбинацию: , причем . Мы получили систему векторов равную нулевому вектору с => система векторов линейно зависимая.
|
4) пусть линейно зависимая система векторов, тогда по крайне мере один вектор этой системы можно выразить через линейную комбинацию других векторов.
Доказательство:
Т.к. система линейно зависимая, то существует i коэффициент не равный нулю (), разделим на этот элемент правую и левую часть равенства.
Линейная зависимость системы векторов, состоящей из одного вектора.
Система из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когда .
(=>) система векторов - линейно зависимая, Доказать
Доказательство:
По определению , =>
(<=) , доказать система векторов - линейно зависимая
Доказательство:
, => система линейно зависимая.
Линейная зависимость системы векторов, состоящей из двух векторов.
Система векторов , линейно зависима тогда и только тогда, когда вектора параллельны между собой( // )
(=>) // , доказать, что система линейно зависима.
Доказательство:
// => по теореме о коллинеарных векторах => , => система векторов , линейно зависимая.
(<=) Система векторов , линейно зависимая Доказать: // .
Доказательство:
Приложим начала векторов , к одной точке. Т.к система векторов линейно зависима, то , причем или , пусть для определенности , тогда => // .
Линейная зависимость системы векторов, состоящей из трёх векторов.
Система векторов , , линейно зависима тогда и только тогда, когда вектора , , компланарны (если при приложение к одной точке начал векторов они лежат в одной плоскости, то такие вектора называются компланарными).
(<=)вектора , , компланарные, Доказать: Система векторов , , линейно зависима.
Доказательство:
1)если среди этих трех векторов, есть два параллельных между собой, то вся система векторов будет линейно зависимой(т.к. будет линейно зависимая подсистема).
2)приложим все вектора к одной точке. Рассмотрим в этой плоскости аффинную систему координат с базисом , .
=>
=> линейно зависима система векторов.
|
(=>)Система векторов , , линейно зависима. Доказать , , компланарные.
Доказательство:
( или или . пусть для определенности )
1) // => => компланарны.
2) вектора , не коллинеарны. Приложим все 3 вектора к одной точке. Вектора и задают однозначно плоскость γ, рассмотрим аффинную систему координат с базисом , . Рассмотрим вектор с координатами , => => => вектора , , компланарные.
Замечание: Любая система из 4 векторов и более в 3 мерном пространстве линейно зависимая.
Деление отрезка в заданном отношение.
Рассмотрим прямую n, , АВ – отрезок.
Рассмотрим на n точку С(xC, yC); . Будем говорить С делит АВ в отношение λ.
1) Пусть точка С лежит на отрезке АВ.
λ>0
2) Пусть точка С лежит правее точки В.
λ>0 |λ|>1
3) Пусть точка С лежит левее точки А.
λ>0 |λ|<1
найдем координаты точки С.
(xb-xa;yb-ya), (xa-xc,ya-yc), (xc-xb,yc-yb)
= + , =λ* => = (λ+1)
xb-xa=xb*(1+ λ)
(аналогично для yc,zc).
Деление отрезка в отношение.
Пусть точка С делит отрезок АВ в отношение λ, тогда (аналогично для yc и zc).
Доказательство: формула деления отрезка в определенном отношение.
Следствие: пусть С середина отрезка АВ, тогда xc=(xa+xb)/2.
Направляющие косинусы.
Пусть в трёхмерном пространстве есть прямоугольная система координат XYZ.
Обозначим через α угол между вектором и лучом ОХ, через β угол между вектором и лучом ОY, через γ угол между вектором и лучом ОZ.
Определение: cos α, cos β, cos γ – направляющие косинусы вектора .
Теорема: .
Доказательство: проведем через конец вектора :
Проведем через конец вектора прямую перпендикулярную плоскости (XOY), эта прямая пересекает плоскость (XOY) в точке D, через точку D проведем прямую перпендикулярную ОХ и так далее будем проводить прямые перпендикулярные к осям.
, =>
=> .
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!