Дифференциальные уравнения первого порядка

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Общий вид дифференциального уравнения следующий:

F (x, y, y ^/, y ^//,…, y ^{( n )}) = 0.

Здесь x – независимая переменная, y – искомая функция, n – наивысший порядок производной, с которым искомая функция входит в уравнение. Значение n называется порядком дифференциального уравнения.

Часто имеют дело с уравнениями, разрешенными относительно производной. Например, уравнение 2-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид

y ^// = f (x, y, y ^/ ).

Решением дифференциального уравнения в интервале (a, b) называется функция y = y (x), обращающее это уравнение в тождество по переменной x.

Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение y ^/ = f (x), решениями которого, очевидно, являются все первообразные функции f (x):
y = F (x) + C, где С – произвольная постоянная. Таким образом, задача интегрирования есть частный случай задачи решения дифференциального уравнения.

Как правило, решение дифференциального уравнения n -го порядка определяются с точностью до n произвольных постоянных. Например, решениями дифференциального вида

y^/// = 2 x + 1

являются функции y (x, C₁, C₂, C₃) = + C₁ + C₂ x + C₃.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

 

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка следующий:

F (x, y, y ^/) = 0. (1)

Здесь x – независимая переменная, y – искомая функция

Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной, имеют общий вид

= f (x, y). (2)

Пусть ставится задача: найти решение уравнения (2), удовлетворяющее условию y (x ₀) = y ₀. Эта задача называется задачей Коши с начальными значениями (x ₀, y ₀).

Теорема существования и единственности. Для того, чтобы задача Коши имела единственное решение в некоторой области G начальных значений (x ₀, y ₀) достаточно, чтобы функция f (x, y) была непрерывна в области Gвместе с f _y ^/ (x, y).

График решения y = y (x)дифференциального уравнения называют интегральной кривой. Теорема утверждает, что через каждую точку области G, в которой непрерывны f (x, y) и f_y ^/(x, y), проходит, и притом единственная, интегральная кривая (рис.1).

 

 

рис.1

Линейные уравнения

 

Линейными дифференциальными уравнениями первого порядка называются уравнения вида y ^/ + a (x) y = b (x), где a (x), b (x)– непрерывные функции. Если b (x)=0, то в этом случае линейное уравнение называют однородным. Линейное однородное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Решаем его.

Из y ^/ + a (x) y = 0 следует = – a (x) dx, откудаln | y | = –ò a (x) dx + ln |С|, C¹0. Поскольку y = 0 – специальное (тривиальное) решение, то общее решение линейного однородного уравнения записывается в виде

y _одн =C×exp(–ò a (x) dx), C – произвольная постоянная (8)

(exp(x) – часто используемое в литературе обозначение функции e^x). Для решения неоднородного уравнения применяют метод вариации произвольной постоянной. Вкратце опишем его. Согласно этому методу постоянная C заменяется функцией C=C(x), т.е. превращается в переменную величину, иначе говоря, варьируется. Выражение y = C(x)×exp(–ò a (x) dx)подставляем в неоднородное уравнение, получается дифференциальное уравнение уже относительно функции C(x), которая затем находится, и при этом появляется другая постоянная. Таким образом получится общее решение неоднородного уравнения. Рассмотрим примеры.

Пример. Решить уравнение y ^/ – y = (x +1)³.

Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид y ^/ – y =0. Здесь a (x) = –. Получаем согласно (8)

y _одн =C×exp(ò dx) = C×exp(2×ln | x +1|) = C(x +1)².

ВарьируемC: C=C(x).Подставляем y = C(x +1)² в исходное уравнение:

(x +1)² + 2C(x +1) – C(x +1)² = (x +1)² = (x +1)³,

откуда = x +1иC(x) = (x +1)² + D. Теперь можно записать общее решение исходного неоднородного линейного дифференциального уравнения с новой произвольной постоянной D: y = C(x)×(x +1)² = (x +1)⁴ + D(x +1)².

Пример. Решить уравнение 2 x (x ² + y) dx = dy.

Решение. Данное уравнение преобразуется к виду – 2 xy = 2 x ³. Здесь
a (x)= –2 x и соответствующее однородное уравнение y ^/– 2 xy = 0. Его общее решение y _одн =C×exp(ò 2 xdx) = C×exp(x ²). Полагая C = C(x) и подставляя C в исходное уравнение y ^/ – 2 xy = 2 x ³, получаем

exp(x ²) + 2C x ×exp(x ²) – 2 x ×C×exp(x ²) = 2 x ³ или = 2 x ³×exp(– x ²).

Определяем C(x);с этой целью используем замену t = x ², dt = 2 x dx, а затем интегрирование по частям:

C(x) = ò 2 x ³×exp(– x ²) dx = ò t ×exp(– t) dt = – t ×exp(– t) + ò exp(– t) dt =

= – (t +1)×exp(– t) + D = – (x ² + 1) ×exp(– x ²) + D.

Здесь D – новая произвольная постоянная. Получаем общее решение исходного уравнения в виде y = C(x)×exp(x ²) = D×exp(x ²) – x ² – 1.

 

Уравнение Бернулли

 

Уравнения Бернулли имеют вид y ^/ + a (x) y = b (x)× yⁿ. Если n =1, то имеем однородное линейное дифференциальное уравнение. При n¹ 1 уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению делением обеих частей на yⁿ и последующей заменой z = y ^{1 – n}.

Пример. Решить уравнение x × y ^/ – 2 x ² = 4 y.

Решение. Преобразуем данное уравнение, после чего будет видно, что имеем дело с уравнением Бернулли. Действительно,

y ^/ – 2 x = 4 или y ^/ – 4 = 2 x = 2 xy ^1/2.

Здесь a (x) = –, b (x) = 2 x, n = 1/2. Имея в виду, что y = 0 – специальное решение, делим на y ^1/2 и получаем преобразованное уравнение – 4 = 2 x. Теперь делаем замену

z = y ^{1 – 1/2} = y ^1/2, z¢ = y ^{–1/ 2}× y¢ = и 2 z ¢ =,

откуда получаем линейное дифференциальное уравнение относительно функции z (x): 2 z¢ – 4 =2 x или z¢ – 2 = x. Решим его. Запишем соответствующее однородное уравнение z¢ – 2 =0, его общим решением будет

z _одн = С×exp(ò dx) = С×exp(2ln | x |) = C x ².

Применяя метод вариации произвольной постоянной получаем

C¢ x ² + 2C x – 2 = C¢ x ² = x или C¢=1/ x,

откуда C(x) = ln | x | + D, z (x)=C(x)× x ² = (ln | x | + D)× x ². Т.к. = z, то общее решение данного уравнения Бернулли имеет вид y = (ln | x | + D)²× x ⁴, а также есть специальное решение y =0.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Общий вид дифференциального уравнения следующий:

F (x, y, y ^/, y ^//,…, y ^{( n )}) = 0.

Здесь x – независимая переменная, y – искомая функция, n – наивысший порядок производной, с которым искомая функция входит в уравнение. Значение n называется порядком дифференциального уравнения.

Часто имеют дело с уравнениями, разрешенными относительно производной. Например, уравнение 2-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид

y ^// = f (x, y, y ^/ ).

Решением дифференциального уравнения в интервале (a, b) называется функция y = y (x), обращающее это уравнение в тождество по переменной x.

Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение y ^/ = f (x), решениями которого, очевидно, являются все первообразные функции f (x):
y = F (x) + C, где С – произвольная постоянная. Таким образом, задача интегрирования есть частный случай задачи решения дифференциального уравнения.

Как правило, решение дифференциального уравнения n -го порядка определяются с точностью до n произвольных постоянных. Например, решениями дифференциального вида

y^/// = 2 x + 1

являются функции y (x, C₁, C₂, C₃) = + C₁ + C₂ x + C₃.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

 

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка следующий:

F (x, y, y ^/) = 0. (1)

Здесь x – независимая переменная, y – искомая функция

Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной, имеют общий вид

= f (x, y). (2)

Пусть ставится задача: найти решение уравнения (2), удовлетворяющее условию y (x ₀) = y ₀. Эта задача называется задачей Коши с начальными значениями (x ₀, y ₀).

Теорема существования и единственности. Для того, чтобы задача Коши имела единственное решение в некоторой области G начальных значений (x ₀, y ₀) достаточно, чтобы функция f (x, y) была непрерывна в области Gвместе с f _y ^/ (x, y).

График решения y = y (x)дифференциального уравнения называют интегральной кривой. Теорема утверждает, что через каждую точку области G, в которой непрерывны f (x, y) и f_y ^/(x, y), проходит, и притом единственная, интегральная кривая (рис.1).

 

 

рис.1