Раздел I. Личное страхование

Страхование жизни

Страховые организации проводят следующие виды страхования жизни: смешанное, дополнительных пенсий, детей, пожизненное на случай смерти. В этих видах страхования комбинируются различные виды страховой ответственности.

Страхование на дожитие до определенного возраста и на случай смерти

Задача 1.

Рассмотрим исчисление вероятностей страховых событий.

Данные из таблицы смертности.

Таблица 1.

Возраст (x), лет	Число лиц, доживших до возраста x лет, Lx	Число лиц, умерших при переходе от x лет к возрасту (x+1) лет, dx

 

Для лица, чей возраст 43 года, вероятность прожить еще один год (P43) составляет:

Р43 = L43+1 = 85310 = 0,99050;

L43 86182

вероятность умереть в течение предстоящего года (q43) жизни равняется: q43 = d43 = 872_ = 0,01012;

L43 86182

вероятность прожить пять лет (5Р43) к ряду равняется:

5Р43 = L43+5 = 81208 = 0,94228;

L43 86182

вероятность умереть в течение 5?предстоящих пяти лет (q43) равняется:

5? q43 = L43 – L 43 + 5 = 86182-81208 = 0,05771;

L43 86182

вероятность умереть на пятом году??жизни (q43) равняется:

?5q43 = L43+4 - L43+5 = 82327 - 81208 = 0,01298;

L43 86182

Задача 2.

Страхователю 43 года, по условию договора страховщик обязан выплатить ему возмещение только при дожитии до 48 лет. При ставке i=5% единовременная премия (5Е43), которую застрахованный должен уплатить при заключении договора, равняется:

5Е43 = V5 x L43+5 = 0,7835 x 81208 = 0,7383,

L43 86182

где V5 = 1 / (1+i) - дисконтирующий множитель 5-ой степени.

Число 0,7383 - это тарифная ставка для лиц в возрасте 43 года, страхующихся на дожитие до 48 лет (5Е43). Ее значение определяется из таблицы коммутационных чисел (Табл. 2).

Данные из таблицы коммутационных чисел

при норме доходности 5%.

Таблица 2.

Возраст (x)	Lx	dx	Dx	Nx	Cx	Mx
			10574,91	150608,86	101,90	3402,78
			9969,44	140033,95	103,62	3300,87
			9391,09	130064,51	105,36	3197,26
			8838,53	120673,42	106,80	3091,90
			8310,85	111834,89	107,58	2985,09
			7807,51	103524,04	107,50	2877,51
			7328,23	95716,53	106,65	2770,01
			6872,61	88388,31	105,14	2663,36
			6440,20	81515,70	103,30	2558,22

5Е43 = D43+5 = 7807 = 0,7383,

D43 10574

где D43+5 и D43 - коммутационные числа.

Если страховая сумма по данному договору равнялась 500 д.е., то страхователь должен был бы внести 369,15 д.е. (500 x 0,7383).

 

Задача 3.

Страховщик обязуется выплачивать страхователю, которому 45 лет, пожизненно по 1 д.е. в конце каждого года при условии, что единовременный взнос (а45) составит:

а45 = N46 = 120673 = 12,85 д.е.

D45 9391

При отсрочке пожизненных платежей на n лет и уплате их страховщиком в конце каждого года размер единовременного взноса (n?ax) определяется как:

n?ax = Dx + n+1 + Dx + n+2 + Dx + n+3 +...+ Dx + n + w = Nx + n+1,

Dx Dx

где Dx + n + w - предельный возраст таблицы смертности.

Допустим, что страховщик согласен выплачивать страхователю по 1 д.е. пожизненно не с момента уплаты премии, а спустя 5 лет. В этом случае единовременный страховой взнос страхователя, чей возраст 45 лет (5l а45), должен составить:

5l a45 = N51 = 81515 = 8,68 д.е.

D45 9391

Задача 4.

По условию договора страховщик должен выплачивать по 1 д.е. в течение пяти ближайших лет в конце года. Возраст застрахованного 45 лет. Нетто-премия страхователя (??a45) равняется:

?5a45 = N46 – N51 = 120673 - 81515 = 4,17 д.е.

D45 9391

 

Задача 5.

Размер нетто-премии при пожизненном страховании лиц в возрасте 45 лет (А45) равняется:

А45 = М45 = 3197 = 0,34 д.е.,

D45 9391

где М45 и D45 - коммутационные числа.

Если договор на случай смерти заключен в сумме 10000 д.е., то единовременная нетто-премия составит 3400 д.е. Когда бы смерть страхователя не последовала, страховщик выплатит 10000 д.е.

 

Задача 6.

Срок страхования 5 лет. Размер нетто-ставки при страховании на случай 5?смерти в течении указанного срока (A43) равняется:

 

?5 A43 = A43 - 5l A43 = M43 - M48 = 3402 - 2877 = 0,04965 д.е.

D43 10574

Задача 7.

Размер единовременной нетто-премии в расчете на 1 д.е. страховой суммы для лиц в возрасте 43 лет, застрахованных по смешанному страхованию жизни сроком на 5 лет определяется как:

А43 = 0,7383 + 0,04965??5Е43 + = 0,78795 д.е.

Расчет может производиться также по формуле:

 

А43:?? = D48 + M43 - M48 = 7807 + 3402 - 2877 = 0,7879 д.е.

D43 10574

Резервы премий

Задача 8.

Если страхователю 43 года, а договор на дожитие заключен сроком на 5 лет, то через 3 года при единовременном взносе 369,15 д.е. и соответствующей ему страховой сумме 500 д.е., величина теоретического резерва премий (3V43) окажется равной:

3V43 = D48 = 7807 x 500 = 441,6 д.е.

D46 8838

 

Задача 9.

Страхователь в возрасте 45 лет заключил договор смешанного страхования жизни сроком на 5 лет. Сумма договора установлена в размере 500 д.е. Через 3 года резерв премий (3V45) составит:

 

3V45 = M48 – M50 + D50 = 2877 - 2663 + 6872 x 500 = 453,82 д.е.

D48 7807

Задача 10.

Страхователь в возрасте 45 лет заключил договор пожизненного страхования на случай смерти со страховой суммой 10000 д.е., то через 5 лет с момента заключения договора резерв премий (5V45) будет равен:

5V45 = 1 – a50 = 1 – 13,85 = 1,077,

а45 12,86

где а45 = N45; a50 = N50

D45 D50

2) 10000 x 0,077 = 77 д.е.

 

Задача 11.

Страхователь в возрасте 45 лет заключил договор смешанного страхования жизни сроком на 5 лет в сумме 5000 д.е. с выплатой годовых премий. Через 3 года резерв взносов (3V45) по данному договору составит:

3V45 = 1 - N48 – N50: N50 = 1 – 1,938 = 0,15069

D48 D50 12,86

2) 5000 x 0,15069 = 753,45 д.е.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1.

Для лица в возрасте 45 лет рассчитать:

а) вероятность прожить еще один год;

б) вероятность умереть в течение предстоящего года жизни;

в) вероятность прожить еще два года;

г) вероятность умереть в течение предстоящих двух лет.

 

Задача 2.

Для лица, чей возраст 46 лет, рассчитать вероятность:

а) прожить еще 3 года;

б) умереть в течение предстоящего года жизни;

в) прожить еще 4 года;

г) умереть в течение предстоящих 4 лет;

д) умереть на третьем году (в возрасте 49 лет).

 

Задача 3.

Определить размер единовременной премии страхователя, имеющего возраст 46 лет, если при дожитии до 51 года он должен получить от страховщика 15000 д.е. при ставке дохода 5%.

 

Задача 4.

Рассчитать, каков будет размер единовременной премии, если страховщик будет выплачивать по 1 д.е. в течение всей жизни застрахованного в конце каждого года с момента заключения договора. Застрахованному 45 года. Норма доходности - 5%.

 

 

Задача 5.

Рассчитать размер единовременной премии при отсрочке пожизненных платежей на 3 года и уплате их страховщиком в конце каждого года. Страхователю 47 лет. Норма доходности - 5%.

 

Задача 6.

Рассчитать нетто-премию страхователя в возрасте 46 лет, если по условиям договора страховщик должен выплачивать в конце каждого года по 1 д.е. в течение ближайших 5 лет.

 

Задача 7.

Рассчитать нетто-ставку для страхователя в возрасте 43 лет, заключенного договора на дожитие до 50 лет. Норма доходности - 5%.

 

Задача 8.

Возраст страхователя 44 лет, выплаты по 10 д.е. в течение ближайших 5 лет. Определить единовременный взнос страхователя.

 

Задача 9.

Рассчитать размер единовременной нетто-премии при пожизненном страховании лица в возрасте 50 лет, если договор на случай смерти заключен в сумме 30000 д.е. Норма доходности - 5%.

 

Задача 10.

Рассчитать размер единовременного взноса при страховании на случай смерти, если возраст застрахованного - 45 года, срок страхования 5 лет.

 

Задача 11.

Рассчитать размер единовременной нетто-премии в расчете на 1 д.е. страховой суммы для лица в возрасте 45 лет, застрахованного по смешанному страхованию жизни сроком на 5 лет.