Функция распределения дискретной случайной величины.

Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x1 < x2 < … < xi < … с вероятностями p1 < p2 < … < pi < …, то таблица вида

x₁ x₂ … xi …

p₁ p₂ … pi …

 

называется распределением дискретной случайной величины.

 

Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид.

 

 

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:

 

1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

 

 

Вопрос 10

Математическое ожидание дискретной случайной величины. Свойства математического ожидания. Дисперсия
дискретной случайной величины и ее свойства.

Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Математическим ожиданием называется

- для дискретной случайной величины:

 

 

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания)

 

Свойства математического ожидания

1). Если С - постоянная величина, то МС = С

2). МСх = СМх

3). Математическое ожидание суммы случайных величин всегда равно сумме их математических ожиданий: М(х+y) = Мх + Мy

4). Вводится понятие условного математического ожидания. Если случайная величина принимает свои значения хi с различными вероятностями p(xi/Hj) при разных условиях Hj, то условное математическое ожидание определяется

 

как или ;

 

Если известны вероятности событий Hj, может быть найдено полное

 

математическое ожидание: ;

 

5). Если f(x) - есть функция случайной величины х, то определено понятие математического ожидания функции случайной величины:

 

- для дискретной случайной величины: ;

 

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть абсолютно сходящимся.

 

-для непрерывной случайной величины: ;

 

Интеграл должен быть абсолютно сходящимся.

 

Дисперсия
дискретной случайной величины и ее свойства.

Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата отклонения значения величины от ее математического ожидания: Dx = M(x-Mx)²

 

- для дискретной случайной величины: ;

 

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет дисперсии)

 

Свойства дисперсии:

1). Если С - постоянная величина, то DС = 0

2). DСх = С²Dх

3). Дисперсия суммы случайных величин всегда равно сумме их дисперсий только, если эти величины независимы (определение независимых величин)

4). Для вычисления дисперсии удобно использовать формулу:

 

Dx = Mx² - (Mx)²

 

Вопрос 11

Основные законы распределения вероятностей дискретной случайной величины: Бернулли, биномиальное,
геометрическое, распределение Пуассона, (гипергеометрическое)

Распределение Бернулли

Если производится серия независимых испытаний, в каждом из который событие А может появиться с одинаковой вероятностью р, то число появлений события есть случайная величина, распределенная по закону Бернулли, или по биномиальному закону (другое название распределения).

 

 

Здесь n - число испытаний в серии, m - случайная величина (число появлений события А), Р_n(m) - вероятность того, что А произойдет именно m раз, q = 1 - р (вероятность того, что А не появится в испытании).

 

Пример 1: Кость бросают 5 раз, какова вероятность того, что 6 очков выпадет дважды?

n = 5, m = 2, p = 1/6, q = 5/6

Параметры распределения: n, р

 

 

Биномиальный закон распределения. Случайная величина X принимает значения О, 1, 2, 3, 4, 5,..., n, с вероятностью, определяемой по формуле Бернулли (1.10.1):

 

xi				…	k	…	n
pi				…		…