Проверка гипотезы нормальности распределения по различным методикам

 

Выборку представленную в таблице 4.1 проверим на подчинение нормальному закону распределения используя различные методики.

 

Таблица 4.1 – Таблица значений выборки (наблюдений)

№ значения выборки	Значения выборки (х)	№ значения выборки	Значения выборки (х)

 

Вычислим основные выборочные характеристики. Вычисления будем производить в табличной форме (таблица 4.2).

 

 

 

Таблица 4.2 – Данные для вычисления выборочных характеристик

№
		10,05	101,00	1015,05	10201,00
		-11,95	142,80	-1706,46	20391,84
		-15,95	254,40	-4057,68	64719,36
		4,05	16,04	64,96	257,28
		-7,95	63,20	-502,44	3994,24
		-19,95	398,00	-7940,1	158404,00
		-13,95	194,60	-2714,67	37869,16
		6,05	36,60	221,43	1339,56
		-5,95	35,40	-210,63	1253,16
		-0,95	0,90	-0,855	0,81
		1,05	1,10	1,155	1,21
		14,05	197,40	2773,47	38966,76
		3,05	9,30	28,365	86,49
		9,05	81,90	741,195	6707,61
		17,05	290,70	4956,43	84506,49
		-9,95	99,00	-985,05	9801,00
		27,05	731,70	19792,48	535384,89
		-2,95	8,70	-25,66	75,69
		-1,95	3,80	-7,41	14,44
		0,05	0,0025	0,000125	0,000006
∑			2666,54	11443,57	973974,99

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. По коэффициенту вариации.

Вычислим коэффициент вариации по формуле 2.13:

 

 

. Следовательно выборка подчиняется нормальному закону распределения.

 

2. По коэффициентам эксцесса и ассиметрии.

Вычислим коэффициент асимметрии по формуле 2.12:

 

 

Так как g₁ = 0,37 ≠ 0. Следовательно, некоторая асимметрия имеет место.

Вычислим коэффициент эксцесса по формуле 2.11:

 

 

Так как g₂ = -0,26<0. Имеется небольшой эксцесс.

 

3. По несмещенным оценкам для показателей асимметрии и эксцесса.

Для этого необходимо определить несмещенные оценки для показателей асимметрии и эксцесса по формулам 4.2 и 4.3 соответственно:

 

 

 

Определим среднеквадратические отклонения для показателей асимметрии и эксцесса по формулам 4.4 и 4.5 соответственно:

 

 

 

Проверяем условия:

 

 

 

Условия выполняются, гипотеза нормальности распределения может быть принята.

 

4. По среднему абсолютному отклонению (САО)

 

Данные для вычисления САО приведены в таблице 4.3.

 

Таблица 4.3 - Данные для вычисления САО

№					№
		10,05	10,05	101,00			1,05	1,05	1,10
		-11,95	11,95	142,80			14,05	14,05	197,40
		-15,95	15,95	254,40			3,05	3,05	9,30
		4,05	4,05	16,04			9,05	9,05	81,90
		-7,95	7,95	63,20			17,05	17,05	290,70
		-19,95	19,95	398,00			-9,95	9,95	99,00
		-13,95	13,95	194,60			27,05	27,05	731,70
		6,05	6,05	36,60			-2,95	2,95	8,70
		-5,95	5,95	35,40			-1,95	1,95	3,80
		-0,95	0,95	0,90			0,05	0,05	0,0025
Сумма				2666,54

 

 

 

 

Вычислим среднее абсолютное отклонение (САО).

 

 

Проверяем условие

 

 

 

 

, условие выполняется, следовательно гипотеза нормальности распределения выборки принимается.

 

5. По размаху варьирования.

 

Вычислим отношение .

 

 

 

Критическая нижняя граница данного отношения при 10% уровне значимости равна 3,29

Критическая верхняя граница данного отношения при 10% уровне значимости равна 4,32

Сравниваем полученное значение отношения с критическими значениями верхней и нижней границ.

 

3,29<3,97< 4,32

 

Так как значение отношения больше нижней границы критического значения и меньше значения верхней границ, следовательно гипотеза нормальности распределения выборки по данному методу принимается.

 

6. По критерию χ².

 

Проверку гипотезы нормальности распределения по критерию χ² будем проводить для выборки представленной в таблице 4.1.

Разбиваем массив исходных данных (наблюдений) на классы по формуле 1.1.

 

 

Определим ширину класса по формуле (1.2). Результат вычисления округляем до ближайшего целого.

 

 

Определим середины классов x по формуле 1.4.

 

 

 

 

 

 

Подсчитаем частоты для всех классов В.

При этом значения х_i попавшие на границу между (k-1) и k классами, будем относить к k -му классу.

Вычислим для всех классов Вх и Вх². Расчеты представим в табличной форме (таблица 4.4)

Определим по формулам 4.10 - 4.11.

 

 

 

Вычислим и по формулам 4.12 – 4.13.

 

 

С помощью таблицы ординаты стандартной нормальной кривой сформируем вектор столбец f(z).

Вычислим для всех классов f(z)k, , и χ² по формуле 4.14.

Проверяем, используя таблицу (процентные точки распределения χ²) условие χ²< χ²_(ν;p), где ν = n_кл -1 -2; p=0,10.

 

χ²_(1;0,12)=2,706

 

χ² = 0,184 0,184<2,706

 

Условие выполняется, гипотеза о том, что наблюдаемые частоты распределены нормально принимается на 10%-ном уровне.

 

 

 

Таблица 4.4 – Процедура вычисления критерия χ²

 

№ класса	Середины классов x	Частоты В	х2	Вх	Вх2			Ордината f(z)	f(z)k’	Е
						-16,4	1,47	0,1354	1,94	6,26	0,74	0,548	0,087
						-8,4	0,75	0,3011	4,32
						-0,4	0,04	0,3986	5,72	5,72	0,28	0,078	0,014
						7,6	0,68	0,3166	4,54	4,54	-0,54	0,292	0,064
						15,6	1,40	0,1497	2,15	2,77	0,23	0,053	0,019
						23,6	2,11	0,0431	0,62
∑										0,184