Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений и их систем

 

Операционный метод позволяет просто решать линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, в правых частях которых стоят оригиналы. Оператор Лапласа применяется к обеим частям такого уравнения, после чего получается линейное алгебраическое уравнение относительно изображения неизвестной функции.

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения, например, второго порядка с постоянными коэффициентами:

,

удовлетворяющее начальным условиям

.

(Для уравнений более высоких порядков решение аналогично.)

Будем считать, что искомая функция вместе с ее производными и функция являются оригиналами. Пусть . Используя теорему о дифференцировании оригинала, находим изображения производных, входящих в уравнение:

и

.

Далее, пусть для правой части уравнения изображением будет . Тогда, применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения и пользуясь свойством линейности изображения, получим операторное (или изображающее) уравнение:

.

Это уравнение является линейным уравнением относительно неизвестной функции . Из него находим

.

Наконец по изображению восстанавливаем оригинал , который в силу теоремы единственности оригинала и является частным решением заданного уравнения.

Аналогично применяется операционный метод для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

 

Примеры.

1. Используя операционное исчисление, найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Пусть , тогда , кроме того . Таким образом, применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения, приходим к операторному уравнению

.

Выразим из полученного уравнения функцию :

.

Представим эту рациональную дробь как сумму простейших дробей:

Итак, . Следовательно, решением заданного дифференциального уравнения будет функция, которая является оригиналом для полученного изображения:

.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Пусть . Тогда

и .

Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем операторное уравнение:

,

или

Методом неопределенных коэффициентов найдем разложение этой дроби в сумму простейших дробей.

Таким образом, . Следовательно, частное решение данного дифференциального уравнения будет

.

3. Решить задачу Коши , где функция задана графически на рисунке.

Решение. Пусть . Тогда . Найдем изображение функции , воспользовавшись теоремой запаздывания. Зададим аналитически, используя единичную функцию Хевисайда:

.

Тогда

.

Операторное уравнение принимает вид

.

Находим из него неизвестное изображение :

.

Разложим дробь в сумму простейших дробей.

.

(При разложении можно использовать метод неопределенных коэффициентов.) Следовательно,

.

Еще раз используя теорему запаздывания, найдем искомое решение дифференциального уравнения:

или

4. Операционным методом решить систему линейных дифференциальных уравнений

Решение. Пусть , . Тогда , и . Система операторных уравнений принимает вид

или

Получили систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений и . Для ее решения используем метод Крамера.

,

,

.

Итак,

Тогда .

Следовательно, .

Таким образом, решением системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющим заданным начальным условиям являются функции , .

5. Операционным методом решить систему линейных дифференциальных уравнений

Решение. Перейдем к изображениям искомых функций:

, ,

, .

Кроме того,

.

Тогда система операторных уравнений будет иметь вид

или

Решим полученную систему методом Крамера.

,

Выпишем изображения искомых функций:

,

.

Используя метод неопределенных коэффициентов, восстановим оригиналы.

Таким образом, решением системы уравнений являются функции , .

 

 

Задачи для практических занятий и самостоятельной работы по теме Операционное исчисление»

 

1. Найдите изображения следующих функций:

1) . Ответ: .

2) . Ответ: .

3) .

Ответ: .

4) . Ответ: .

5) . Ответ: .

6) . Ответ: .

7) . Ответ: .

8) . Ответ: .

9) .

Ответ: .

10) .

Ответ: .

11) .

Ответ: .

12) . Ответ: .

13) . Ответ: .

14) . Ответ: .

15) . Ответ: .

16) . Ответ: .

 

2. Найдите оригиналы по заданным изображениям:

1) . Ответ: .

2) . Ответ: .

3) .

Ответ: .

4) . Ответ: .

5) . Ответ: .

6) .

Ответ: .

7) . Ответ: .

8) . Ответ: .

9) . Ответ: .

10) . Ответ: .

11) . Ответ: .

12) .

Ответ: .

13) .

Ответ: .

14) . Ответ: .

15) .

Ответ: .

16) . Ответ: .

 

3. Найдите свертку функций и ее изображение:

1) .

Ответ: .

2) .

Ответ: .

3) .

Ответ: ;

.

4) .

Ответ: .

5) .

Ответ: ;

.

 

4. Найдите оригиналы для следующих изображений, используя теорему свертывания:

1) . Ответ: .

2) . Ответ: .

3) . Ответ: .

4) . Ответ: .

 

5. Используя теорему запаздывания, найдите изображения следующих функций:

1)

 

Ответ: .

 

2)

 

 

Ответ: .

3)

 

Ответ: .

 

4)

 

Ответ: .

 

 

5) Ответ: .

6)

Ответ: .

 

6. Используя теорему запаздывания, найдите оригиналы для следующих изображений:

1) . Ответ:

2) . Ответ:

3) .

Ответ:

4) .

Ответ:

 

7. Решите дифференциальные уравнения операционным методом:

1) . Ответ: .

2) . Ответ: .

3) . Ответ: .

4) . Ответ: .

5) .

Ответ: .

6) .

Ответ: .

7) .

Ответ: .

8) .

Ответ: .

9) .

Ответ: .

10) .

Ответ: .

11) .

Ответ: .

12) .

Ответ: .

13) .

Ответ: .

14) .

Ответ: .

15) .

Ответ: .

 

16) .

Ответ: .

17) , где

Ответ:

18) , где

Ответ:

 

8. Решите системы дифференциальных уравнений операционным методом:

1) . Ответ: .

2) Ответ: .

3)

Ответ: .

4)

Ответ: .

5) .

Ответ: .

6) .

Ответ: .

7)

Ответ: .

8)

Ответ: .

9)

Ответ: .

10)

Ответ: .

11)

Ответ: .