Смешанное и двойное векторное произведение

Симферополь, 2004

Тема №1. Элементы векторной алгебры.

Вектор. Базис, разложение вектора по базису. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов. Деление отрезка в заданном отношении.

1. Даны точки А(3,-1,2) и В(-1,2,1). Найти координаты векторов и .

2. Определить точку А, с которой совпадает конец вектора , если его начало совпадает с точкой М(1,2,-3).

3. Определить начало вектора , если его конец совпадает с точкой (1,-1,2).

4. Даны два вектора и . Определить проекции на координатные оси следующих векторов:

5. Установить, являются ли вектора , линейно зависимыми, и в том случае когда это возможно, представить вектор как линейную комбинацию векторов и .

6. Установить, являются ли вектора , линейно зависимыми, и в том случае, когда это возможно, представить вектор как линейную комбинацию векторов и .

7. Проверить, что векторы (4, 1, -1)), (1, 2, -5) и (-1, 1, 1) образуют базис в пространстве. Найти координаты векторов (0, 3, -4), (2, 4, -10) в этом базисе.

8. Проверить, будут ли компланарны вектора = 2 - - , =- +2 - и =- - +2 ; в случае положительного ответа указать линейную зависимость, их связывающую (здесь , , – три некомпланарных вектора).

9. Проверить, будут ли компланарны векторы = + + , = + и =- + ; в случае положительного ответа указать линейную зависимость, их связывающую (здесь , , – три некомпланарных вектора).

10. Проверить, будут ли компланарны векторы = , = - - и = - + ; в случае положительного ответа указать линейную зависимость, их связывающую (здесь , , – три некомпланарных вектора).

11. В треугольнике АВС точка О – точка пересечения медиан а точка М – середина отрезка АВ. Принимая за базисные векторы и , найти в этом базисе координаты векторов , , .

12. Лежат ли три точки А(2,4,1), В(3,7,5) и С(4,10,9) на одной прямой?

13. Три последовательных вершины трапеции АВСД находятся в точках А(-3,-2, -1), В(1,2,3), С(9,6,4). Найти четвертую вершину Д этой трапеции, зная, что длина основания равна 15. Найти также точку М пересечения диагоналей трапеции.

14. Вершина А параллелепипеда АВСД принята за начало координат, а три ребра , , – за базисные векторы. Найти в этой системе координаты всех вершин параллелепипеда.

15. Один из концов отрезка АВ находится в точке А(2,3), его серединой служит точка М(1,-2). Найти другой конец отрезка.

16. Дана точка А(2,4). Найти точку В при условии, что точка С пересечения прямой АВ с осью ординат делит отрезок АВ в отношении равном 2/3, а точка Д пересечения прямой АВ с осью абсцисс делит отрезок АВ в отношении -3/4.

Скалярное произведение

1. Треугольник АВС задан векторами = и = . Выразить через векторы и вектор , направленный по высоте АН.

2. Вектор перпендикулярен векторам =3 +2 +2 и =18 -22 -5 и образует с осью OY тупой угол. Найти его координаты зная, что =14.

3. Даны три вектора (4,1,5), (0,5,2) и (-6,2,3). Найти вектор , удовлетворяющий системе уравнений (, )=18, (, )=1, (, )=1.

4. Зная векторы и , на которых построен параллелограмм, выразить через них вектор, совпадающий с высотой параллелограмма, перпендикулярной к стороне .

5. Зная векторы = 2 -6 , = +7 и = -3 - , где и – взаимно перпендикулярные орты, определить углы этого треугольника.

6. Даны два вектора: (8,4,1) и (2,-2,1), выходящие из одной точки. Найти вектор , исходящий из этой же точки, перпендикулярный вектору , равный ему по длине, компланарный с векторами и и образующий с вектором острый угол.

7. Векторы и образуют угол , зная, что , вычислить: .

8. Векторы и образуют угол , зная, что , вычислить: .

Векторное произведение

1. Вектор , перпендикулярный оси аппликат и вектору =8 -15 +3 ,

образует острый угол с осью абсцисс. Зная, что =51, найти его

координаты.

2. Даны вершины треугольника А(1,-1,2), В(5,-6,2) и С(1,3,-1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.

3. Даны вершины треугольника А(1,-1,2), В(5,-6,2) и С(1,3,-1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ.

4. Вычислить синус угла, образованного векторами (2,-2,1) и (2,3,6).

Смешанное и двойное векторное произведение

1. Даны векторы (2,-3,1), (-3,1,2) и (1,2,3). Вычислить [ ,[ , ]].

2. Вычислить объём тетраэдра, вершины которого находятся в точках А(2,-1,-1), В(5,-1,2), С(3,0,-3) и Д(6,0,-1).

3. /Вычислить объём тетраэдра, вершины которого находятся в точках А(2,3,1), В(4,1,-2), С(6,3,7) и Д(-5,-4,8).

4. Проверить компланарны ли данные векторы: =2 -3 -4 , =3 +4 +5 и =3 +3 + .

5. На векторах (2,3,1) и (-1,1,2), отложенных из одной точки, построен треугольник. Найти площадь этого треугольника, длины трёх его высот.

6. Из одной точки отложены четыре вектора (-1,1,-1), (-1,1,1), (5,-1,-1), и . Вектор имеет длину 1 и образует с векторами , , , равные острые углы. Вычислить координаты вектора .

Преобразование систем координат

1. В пространстве даны две системы координат и . Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты (1,1,2), а базисные векторы второй системы имеют в базисе первой системы координаты (4,2,1), (5,3,2) и (3,2,1) соответственно. 1) Найти координаты точки в первой системе, если известны её координаты во второй системе координат. 2) Найти координаты точки во второй системе, если известны её координаты в первой системе координат.

2. В пространстве даны две системы координат и . Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты (1,1,2), а базисные векторы второй системы имеют в базисе первой системы координаты (4,2,1), (5,3,2) и (3,2,1) соответственно. 1) Найти координаты точки в первой системе, если известны её координаты во второй системе координат. 2) Найти координаты точки О во второй системе и координаты векторов в базисе второй системы координат.

3. Координаты каждой точки пространства в системе координат выражаются через координаты этой же точки в системе формулами , , . Найти координаты начала О и базисных векторов первой системы координат во второй системе.

Тема № 2. Прямая линия на плоскости

1. Даны две точки: А(2;3) и В(-1;0). Составить уравнение прямой проходящей через точку В перпендикулярно к отрезку АВ.

2. Даны вершины треугольника А(2;1), В(-1;-1), С(3;2). Составить уравнения его высот.

3. Даны вершины треугольника А(2;-2), В(3;-5) и С(5;7). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины С на биссектрису внутреннего угла при вершине А.

4. Дана прямая 2х + 3у + 4=0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2,1) под углом 45 градусов к данной прямой.

5. Дан ромб, диагонали которого равны 4 и 10. Найти уравнения всех его сторон, зная, что оси координат направлены по его диагоналям из точки их пересечения.

6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2,-3) параллельно прямой 1) х + 9у - 11 = 0, 2) 2х + 3 = 0. Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.

7. Установить, какие из следующих пар прямых перпендикулярны: 1) 9х – 12у + 5 = 0, 8х + 6у – 13 = 0, 2) 7х – 2у + 1 = 0, 4х + 6у + 17 = 0. 3) 5х – 7у + 3 = 0, 3х + 2у – 5 = 0.

8. Установить, какие из следующих пар прямых перпендикулярны: 1) 3х – у + 5 = 0, х + 3у – 1 = 0, 2) 3х – 4у + 1 = 0, 4х – 3у + 7 = 0. 3) 6х – 15у + 7 = 0, 10х + 4у – 3 = 0.

9. Составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат и образует угол 45 градусов с прямой у = 2х + 5.

10. Стороны треугольника АВС лежат на прямых: 3х – у =0 (АВ), х + 4у – 2 = 0 (ВС), 2х + 7у =0 (АС). Найти величину угла между высотой, проведенной из вершины В, и стороной АВ.

11. Даны две параллельные прямые: –х + 3у + 5 = 0 и х – 3у + 2 = 0. Найти уравнение прямой, им параллельной и одинаково удаленной от каждой из них.

12. Определить, лежит ли начало координат внутри или вне треугольника, стороны которого заданы уравнениями 7х – 5у – 11 = 0, 8х + 3у +31 = 0, х + 8у – 19 = 0.

13. Вычислить расстояние между параллельными прямыми в каждом из следующих случаев: 1) 3х – 4у – 10 = 0, 6х – 8у + 5 = 0, 2) 4х – 3у + 15 =0, 8х – 6у + 25 = 0.

14. Вычислить расстояние между параллельными прямыми в каждом из следующих случаев: 1) 5х – 12у + 26 = 0, 5х – 12у - 13 = 0, 2) 24х – 10у +39 = 0, 12х – 5у – 26 = 0.

15. Доказать, что прямая 5х – 2у – 1 =0 параллельна прямым 5х – 2у + 7 = 0, 5х – 2у – 9 = 0 и делит расстояние между ними пополам.

16. Даны три параллельные прямые: 10х + 15у –3 = 0, 2х + 3у + 5 = 0, 2х + 3у – 9 = 0. Установить, что первая из них лежит между двумя другими, и вычислить отношение, в котором она делит расстояние между ними.

17. Составить уравнение прямой, параллельной и равноудаленной от двух параллельных прямых х + у – 1 = 0 и х + у + 13 = 0.

18. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин (3,-4) и уравнения двух высот 7х – 2у – 1 = 0 и 2х – 7у – 6 = 0.

19. Составить уравнения биссектрис углов между прямыми 3х – 4у +7 = 0 и 5х + 12у – 1 = 0.

20. Найти уравнение прямой, отсекающей на оси Оу отрезок, величина которого равна 5, и наклоненной к оси ох под углом: 45, 60, и 135 градусов.

21. Написать уравнение прямой, наклоненной к оси Ох под углом в зо градусов и отсекающей на оси Оу отрезок величина которого равна: -3.

22. Найти уравнение прямой, проходящей через начало координат и наклоненной к оси Ох под углом 45, 135, и 180 градусов.

23. Найти угол наклона прямой х – у – 5 = 0. К оси Ох.

24. Диагонали ромба, равные 8 и 6 единицам длины, приняты за оси координат. Найти уравнения сторон этого ромба.

25. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (2, -3) параллельно прямой, соединяющей точки(1, 2) и (-1, -5).

26. Провести через точку (3, 3) прямые, составляющие углы в 45 градусов с прямой 5х – 4н – 1 = 0.

27. Через точку пересечения прямых х + у – 6 = 0, 2х – у – 3 = 0 провести прямую под углом в 45 градусов к прямой 3х – 5 = 0.

28. Найти прямую, проходящую через точку (2, -3) и образующую с осью Ох угол вдвое больший угла, образуемого с той же осью прямую у = 0.5х + 3.

29. Вершины треугольника суть: (0, 1), (1, 0), (1, 1). Найти уравнения медиан.

30. Вершины треугольника суть: (2, 1), (0, 7), (-4, -1). Найти уравнения медиан и точку их пересечения.

31. Дана прямая 5х + 12у + 2 = 0. Найти уравнение прямой, параллельной данной и отстоящей от неё на расстоянии 3 единицы.

32. Вершиной треугольника служит точка (5, -3), а основанием отрезок, соединяющий точки (0, -1) и (3, 3). Найти длину высоты треугольника.

Тема № 3. Элементарная теория конических сечений

Эллипс

1. Составить каноническое уравнение эллипса, симметричного относительно начала системы координат и с фокусами, лежащими на оси Ох, если малая полуось равна 3, эксцентриситет равен .

2. Составить каноническое уравнение эллипса, симметричного относительно начала системы координат и с фокусами, лежащими на оси Ох, если большая полуось равна 10, эксцентриситет равен 4/5.

3. Составить каноническое уравнение эллипса, симметричного относительно начала системы координат и с фокусами, лежащими на оси Ох, если сумма полуосей равна 8, расстояние между фокусами 8.

4. Составить каноническое уравнение эллипса, симметричного относительно начала системы координат и с фокусами, лежащими на оси Ох, если расстояние между директрисами равно 18, большая полуось равна 12.

5. Эллипс, симметричный относительно осей прямоугольной декартовой системы координат, касается двух прямых: х + у – 5 = 0 и х – 4у – 10 = 0. Найти его уравнение.

Гипербола

1. На гиперболе найти точку, для которой расстояние от левого фокуса вдвое больше, чем от правого.

2. Дан эллипс . С оставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах данного эллипса.

3. Вывести условие, при котором прямая Ах + Ву +С = 0 касается гиперболы .

4. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что расстояние между фокусами равно 10 а длина мнимой оси 8.

5. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что расстояние между фокусами равно 6 и эксцентриситет равен 3/2.

6. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что длина действительной оси равна16 и эксцентриситет 5/4.

7. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относ