По количественно определенному признаку

Критерий Фишера с равным успехом может использоваться и при сравнении распределений количественных признаков.

Задача 8.15. Будет ли уровень тревожности у подростков-сирот более высоким, чем у их сверстников из полных семей? Для решения этой задачи психолог проводил анализ выраженности уровня тревожности в группе сирот и в группе детей из полных семей при помощи опросника Тейлора. 40 баллов и выше рассматривались как показатель очень высокого уровня тревоги (Практическая психодиагностика: Методики и тесты. — Изд-во БАХРАХ-М. 2000. С. 64.).

Решение. В первой группе из 10 человек очень высокий уровень тревожности наблюдался у 7 испытуемых (70%), во второй группе из 13 человек он был обнаружен у 3 испытуемых (23,1%). Проверим, можно ли считать подобные различия статистически значимыми?

По таблице 14 Приложения 1 определяем величины φl и φ2 для первой и второй группы: φ1 = 1,982 для 70% и φ2 = 1,003 для 23,1%

Подсчитываем φ_эмп по формуле (8.14):

Напомним, что критические величины для этого критерия таковы:

Строим «ось значимости»:

Полученная величина φ_эмп превышает соответствующее критическое значение для уровня в 1%, следовательно различия между группами значимы на 1% уровне. Иными словами в первой группе измеряемый признак выражен в существенно большей степени, чем во второй.

Т.е. подростки сироты более тревожны, чем дети из полных семей. Обратите внимание, что для получения подобного вывода понадобилась очень малая выборка испытуемых.

В терминах статистических гипотез можно утверждать, что нулевая гипотеза Н_о отклоняется и на высоком уровне значимости принимается гипотеза Н₁ о различиях.

Для применения критерия Фишера ф необходимо соблюдать следующие условия:

1. Измерение может быть проведено в любой шкале.

2. Характеристики выборок могут быть любыми.

3. Нижняя граница — в одной из выборок может быть только 2 наблюдения, при этом во второй должно быть не менее 30 наблюдений. Верхняя граница не определена.

4. Нижние границы двух выборок должны содержать не меньше 5 элементов (наблюдений) в каждой.

Глава 9

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ РАЗЛИЧИЯ

Критерии носят название «параметрические», потому что в формулу их расчета включаются такие параметры выборки, как среднее, дисперсия и др. Как правило, в психологических исследованиях чаще всего применяются два параметрических критерия — это t -критерий Стьюдента, который оценивает различия средних для двух выборок и F — критерий Фишера, оценивающий различия между двумя дисперсиями.

T-критерий Стьюдента

Критерий t Стьюдента направлен на оценку различий величин средних X и Y двух выборок Х и Y, которые распределены по нормальному закону. Одним из главных достоинств критерия является широта его применения. Он может быть использован для сопоставления средних у связных и несвязных выборок, причем выборки могут быть не равны по величине.

Случай несвязных выборок

В общем случае формула для расчета по t-критерию Стьюдента такова:

где

Рассмотрим сначала равночисленные выборки. В этом случае n1 = п2 = п, тогда выражение (9.2) будет вычисляться следующим образом:

В случае неравночисленных выборок п1 ≠ п2, выражение (9.2) будет вычисляться следующим образом:

В обоих случаях подсчет числа степеней свободы осуществляется по формуле:

k = (n1 - 1) + (n2 - 1) = n1 + n2 - 2 (9.5)

где n 1 и n 2соответственно величины первой и второй выборки.

Понятно, что при численном равенстве выборок k = 2 ∙ п - 2.

Рассмотрим пример использования t -критерия Стьюдента для несвязных и неравных по численности выборок.

Задача 9.1. Психолог измерял время сложной сенсомоторной реакции выбора (в мс) в контрольной и экспериментальной группах. В экспериментальную группу (X) входили 9 спортсменов высокой квалификации. Контрольной группой (Y) являлись 8 человек, активно не занимающиеся спортом. Психолог проверяет гипотезу о том, что средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора у спортсменов выше, чем эта же величина у людей, не занимающихся спортом.

Решение. Результаты эксперимента представим в виде таблицы 9.1, в которой произведем ряд необходимых расчетов:

Таблица 9.1

 

№	Группы	Отклонения от среднего	Квадраты отклонений
X	Y	Σ(xi-x)	Σ(yi-y)	Σ(xi-x)2	Σ(yi-y)2
			-22	- 58
			-106
				- 17
				-2
				-77
			-36
				- 8
		-	-56	-		-
Сумма
Среднее

Средние арифметические составляют в экспериментальной группе

4734/9 = 526, в контрольной группе 5104/8 = 638.

Разница по абсолютной величине между средними

|Х- Y| = 526-638= 112.

Подсчет выражения 9.4 дает:

Тогда значение t_эмп вычисляемое по формуле (9.1), таково:

Число степеней свободы k=9 + 8 - 2= 15

По таблице 16 Приложения1 для данного числа степеней свободы находим:

Строим «ось значимости»:

Таким образом, обнаруженные психологом различия между экспериментальной и контрольной группами значимы более чем на 0,1% уровне, или, иначе говоря, средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора в группе спортсменов существенно выше, чем в группе людей, активно не занимающихся спортом.

В терминах статистических гипотез это утверждение звучит так: гипотеза Н_о о сходстве отклоняется и на 0,1% уровне значимости принимается альтернативная гипотеза Н₁ — о различии между экспериментальной и контрольными группами.

Случай связных выборок

В случае связанных выборок с равным числом измерений в каждой можно использовать более простую формулу t -критерия Стьюдента.

Вычисление значения t_эмп осуществляется по формуле:

Где

где d. = х. - у. — разности между соответствующими значениями переменной X и переменной Y, а I среднее этих разностей. В свою очередь Sd вычисляется по следующей формуле:

Число степеней свободы к определяется по формуле k = n - 1.

Рассмотрим пример использования t -критерия Стьюдента для связных и, очевидно, равных по численности выборок.

Задача 9.2. Психолог предположил, что в результате научения время решения эквивалентных задач «игры в 5» (т.е. имеющих один и тот же алгоритм решения) будет значимо уменьшаться. Для проверки гипотезы у восьми испытуемых сравнивалось время решения (в минутах) первой и третьей задач.

Решение. Решение задачи представим в виде таблицы 9.2:

Таблица 9.2

№ испыт.	1 задача	3 задача	d	d2
	4,0	3,0	1,0	1,0
	3,5	3,0	0,5	0,25
	4,1	3,8	0,3	0,09
	5,5	2,1	3,4	11,56
	4.6	4,9	-0,3	0,09
	6,0	5,3	0,7	0,49
	5,1	3,1	2,0	4,00
	4,3	2,7	1,6	2,56
Суммы	37,1	27,9	9,2	20,04

Вначале произведем расчет по формуле (9.7):

Затем применим формулу (9.8), получим:

И, наконец, следует применить формулу (9.6). Получим:

Число степеней свободы: k = 8-1 = 7 и по таблице 16 Приложения 1 находим i_кр:

Строим «ось значимости»:

Таким образом, на 5% уровне значимости первоначальное предположение подтвердилось, действительно, среднее время решения третьей задачи существенно меньше среднего времени решения первой задачи. В терминах статистических гипотез полученный результат будет звучать так: на 5% уровне гипотеза Н_о отклоняется и принимается гипотеза Н₁ — о различиях.

Для применения t-критерия Стьюдента необходимо соблюдать следующие условия:

1. Измерение может быть проведено в шкале интервалов и отношений.

2. Сравниваемые выборки должны быть распределены по нормальному закону

9.2. F - критерий Фишера

Критерий Фишера позволяет сравнивать величины выборочных дисперсий двух рядов наблюдений. Для вычисления F_эмп нужно найти отношение дисперсий двух выборок, причем так, чтобы большая по величине дисперсия находилась бы в числителе, а меньшая знаменателе. Формула вычисления по критерию Фишера F такова:

Где

и

Поскольку, согласно условию критерия, величина числителя должна быть больше или равна величине знаменателя, то значение F_эмп всегда будет больше или равно единице, т.е. F_эмп ≥ 1. Число степеней свободы определяется также просто: df₁ = n 1 - 1 для первой (т.е. для той выборки, величина дисперсии которой больше) и df₂ = n 2 - 1 для второй выборки. В таблице 17 Приложения 1 критические значения критерия Фишера F_кр находятся по величинам df₁ (верхняя строчка таблицы) и df₂ (левый столбец таблицы).

Задача 9.3. В двух третьих классах проводилось тестирование умственного развития по тесту ТУРМШ десяти учащихся. Полученные значения величин средних достоверно не различались, однако психолога интересует вопрос — есть ли различия в степени однородности показателей умственного развития между классами.

Решение. Для критерия Фишера необходимо сравнить дисперсии тестовых оценок в обоих классах. Результаты тестирования представлены в таблице:

Таблица 9.3

№№ учащихся п/п	Первый класс X	Второй класс Y	№№ учащихся п/п	Первый класс X	Второй класс Y
Суммы
Среднее		60,6	63,6

Как видно из таблицы 9.3, величины средних в обеих группах практически совпадают между собой 60,6 = 63,6 и величина t -критерия Стьюдента оказалась равной 0,347 и незначимой.

Рассчитав дисперсии для переменных X и Y, получаем

S²_х = 572,83

S² _y = 174,04

Тогда по формуле (9.9) для расчета по F критерию Фишера находим:

По таблице 17 Приложения 1 для F критерия при степенях свободы в обоих случаях равных df= 10 - 1 = 9 находим F_кр.

Строим «ось значимости»:

Таким образом, полученная величина F_эмп попала в зону неопределенности. В терминах статистических гипотез можно утверждать, что Н_о (гипотеза о сходстве) может быть отвергнута на уровне 5%, а принимается в этом случае гипотеза Н₁ Психолог может утверждать, что по степени однородности такого показателя, как умственное развитие, имеется различие между выборками из двух классов.

Для применения критерия F Фишера необходимо соблюдать следующие условия:

1. Измерение может быть проведено в шкале интервалов и отношений.

2. Сравниваемые выборки должны быть распределены по нормальному закону

 

Глава 10