Методические указания по выполнению разделов №2.4, №2.5

Постепенные или параметрические отказы происходят из-за случайных изменений параметров объекта во времени (в общем случае в функции любой монотонно возрастающей величины – наработки). Рассмотрим количественные характеристики этих отказов.

В большинстве случаев, имеющих для практики значение, рассматривается основные технические параметры, характеризующие работоспособность объекта и являющиеся его мерой качества, называемые определяющими параметрами. Как правило, определяющим параметром выбирается тот параметр, который более существенно влияет на надежность устройства. Изменение некоторого параметра Х, выбранного в качестве основного (определяющего), предполагается линейным во времени, т.е

 

(1)

 

где b – скорость изменения параметра Х; t – время наблюдения за параметром.

Скорость изменения определяющего параметра b, как правило, зависит от большого числа контролируемых и неконтролируемых факторов и является случайной величиной. Наиболее типичный случай, и это подтверждается на практике, когда она подчинена нормальному закону распределения:

 

(2)

 

где f(b) – плотность вероятности случайной величины – скорости изменения определяющего параметра b; b_ср – средняя скорость процесса изменения параметра; – среднеквадратическое отклонение величины b.

Введем теперь понятие и величину предельно допустимого значения определяющего параметра Х_max, которое определяет срок службы технического устройства, характеризуемого определяющим параметром Х и достигаетсяс течением времени под влиянием факторов, связанных со старением, изнашиванием или разрегулированием (при этом объект теряет работоспособность, т.е. происходит отказ). Поскольку внешние и внутренние факторы, влияющие на процесс ухудшения определяющего параметра, имеют случайный характер, то и характер изменения определяющего параметра во времени, а также время достижения им критического значения, тоже являются случайными. Поскольку под действием дестабилизирующих факторов или в процессе старения определяющий параметр может не только расти (например, чувствительность приемного устройства), но и уменьшаться (например, мощность передающего устройства), то допустимое значение определяющего параметра может определяться и его минимальным значением Х_min.

Для анализа надежности объекта при постепенных отказах, связанных со случайным процессом изменения определяющего параметра Х(t), как правило, вычисляют следующие показатели:

- вероятность нахождения объекта в работоспособном состоянии P(t)=P{X(t) < X_мах};

- показатели наработки до постепенного отказа – времени достижения определяющим параметром значения X_мах: плотность распределения наработки до отказа f(t), вероятность безотказной работы P(t) = P{T > t}, интенсивность отказов λ(t).

Срок службы t = Т, при котором X(t) = X_max, т.е. момент времени, в который происходит отказ, является функцией случайного аргумента b, т.е.

 

(3)

 

Поскольку вероятность безотказной работы является функцией времени, то найдем плотность распределения f(t) по заданной плотности f(b). Для этого необходимо воспользоваться известной из курса теории вероятности [6] формулой:

 

(4)

 

где .

Подставив эти значения в (2) и вводя новый параметр После преобразований получим:

(5)

Зная теперь вероятность f(T), можем вычислить вероятность отказа, которая определяется формулой:

(6)

Вероятность безотказной работы соответственно:

 

 

Вводя нормированную функцию Лапласа F(u) получим:

 

(7)

 

Эта формула выражает вероятность того, что определяющий параметр Х(t) при данном t = Т не выйдет за пределы допустимого максимального значения Х_max, т.е.

 

(8)

Рис. 1. Плотность распределения наработки при постепенных отказах

 

Параметр Х(t) при заданном t = Т, также как и скорость b, распределен по нормальному закону с параметрами:

– математическое ожидание, (9)

– среднеквадратическое отклонение. (10)

Поэтому вероятность безотказной работы численно равна площади, ограниченной кривой плотности распределения f(Х), заключенной в пределах от до

 

(11)

Этот закон носит название альфа–распределения и зависит от трех параметров.

Упомянутое выше альфа –распределение используется для построения моделей разрегулирования объектов, при этом плотность распределения наработки до отказа представляется в виде:

 

, (12)

 

где (13)

 

называется относительным запасом долговечности, а

 

(14)

– относительной скоростью изменения параметра.

Коэффициент имеет размерность времени, коэффициент безразмерен. С – нормирующий множитель для усеченного нормального распределения:

(15)

 

где