Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-11-21 | 304 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Вопросы к теме
1. Основы теории множеств.
2. Элементы математической логики.
Краткие теоретические сведения
Основы теории множеств
Понятие множества принадлежит к числу фундаментальных неопределяемых понятий математики. Можно сказать, что множество – это любая определенная совокупность объектов. Объекты, из которых составлено множество, называются его элементами. Элементы множества различны и отличимы друг от друга.
Пример: Множество S страниц в данной методичке. Множество натуральных чисел Множество простых чисел Множество целых чисел: Множество R вещественных чисел. Множество A различных символов на этой странице.
Если объект является элементом множества , то говорят, что (Обозначение: ). В противном случае говорят, что (Обозначение: ).
Множества, как объекты, могут быть элементами других множеств. Множество, элементами которого являются множества, обычно называется классом или семейством.
Множество, не содержащее элементов, называется пустым.
Обозначение:
Чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему принадлежат.
Это можно сделать различными способами:
перечисление элементов: (обозначения элементов обычно заключают в фигурные скобки и разделяются запятыми);
характеристическим предикатом: (это некоторое условие, выраженное в форме логического утверждения или процедуры, возвращающей логическое значение: если для данного элемента условие выполнено, то он принадлежит определенному множеству, в противном случае – не принадлежит);
порождающей процедурой: (процедура, которая, будучи запущенной, порождает некоторые объекты, являющиеся элементами определяемого множества).
Примеры: 1. ;
|
2. &
Перечислением можно задавать только конечные множества. Бесконечные множества задаются характеристическим предикатом или порождающей процедурой.
Множество целых чисел в диапазоне от m до n обозначается так: m…n. То есть ;
Множество A содержится в множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент B: .
В этом случае называется подмножеством , - надмножеством . Если и , то называется собственным подмножеством .
Два множества равны, если они являются подмножествами друг друга: & .
Мощностью множества обозначатся . Для конечных множеств мощность – это число элементов. Если , то множества и называются равномощными.
Операции над множествами:
- объединение : ;
- персечение : & ;
- разность : & ;
- симметрическаяразность :
- дополнение : .
Операция дополнения подразумевает универсум .
Пример: Пусть .
Тогда
Диаграммы Эйлера, иллюстрируют операции над множествами. Сами исходные множества изображаются фигурами (в данном случае овалами), а результат графически выделяется (в данном случае для выделения использована штриховка).
Свойства операций над множествами :
Пусть задан универсум . Тогда выполняются следующие свойства.
1. идемпотентность: ;
2. коммутативность: ;
3. ассоциативность: ;
4. дистрибутивность:
5. поглощение: ;
6. свойство нуля: ;
7. свойство единицы: ;
8. инволютивность: ;
9. законы Моргана: ;
10. свойства дополнения: ;
11. выражение для разности: .
В справедливости перечисленных свойств можно убедиться различными способами. Например, нарисовать диаграммы Эйлера для левой и правой частей равенства, и убедится, что они совпадают.
Элементы математической логики (алгебры логики)
Алгебра в широком смысле этого слова – наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над различными математическими объектами (алгебра функций, алгебра векторов и так далее). Объектами алгебры логики являются высказывания.
|
Высказывание – это форма мышления, выраженная с помощью понятий, посредством которой что-либо утверждают или отрицают о предметах, их свойствах и отношениях между ними.
О предметах можно судить верно или неверно, то есть высказывание может быть истинным ( обозначается 1 ) или ложным ( обозначается 0).
Высказывание называется простым, если никакая его часть сама не является высказыванием. Высказывание, состоящее из простых высказываний, называется составным (сложным).
Например, А = {Аристотель – основоположник логики}
В = {Лондон – столица Парижа}
Таким образом, А = 1, В = 0.
Составные высказывания на естественном языке образуются с помощью союзов, которые в алгебре логики заменяются на логические операции. Логические операции задаются таблицами истинности и могут быть графически проиллюстрированы с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Логические операции
1. Конъюнкция (логическое умножение)
· в естественном языке соответствует союзу И;
· обозначается & или
Конъюнкция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
Диаграмма Эйлера-Венна соответствует пересечению множеств.
Таблица истинности
А | В | А&В |
2. Дизъюнкция (логическое сложение)
· в естественном языке соответствует союзу ИЛИ;
· обозначается
Дизъюнкция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.
Диаграмма Эйлера-Венна соответствует объединению множеств.
Таблица истинности
А | В | А В |
3. Инверсия (отрицание)
· в естественном языке соответствует словам НЕВЕРНО, ЧТО… и частице НЕ;
· обозначается
Инверсия – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.
Таблица истинности
А | |
Диаграмма Эйлера-Венна
4. Импликация (логическое следование)
|
· в естественном языке соответствует обороту ЕСЛИ …, ТО…
· обозначение
Импликация – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.
Таблица истинности
А | В | А В |
5. Эквиваленция (равнозначность)
· в естественном языке соответствует обороту ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…
· обозначение
Эквиваленция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.
Таблица истинности
А | В | А В |
Последовательности и ряды
Вопросы к теме
1. Числовые ряды Знакопеременные ряды.
2. Степенные ряды.
3. Признаки сходимости ряда
Краткие теоретические сведения
Числовым рядом называется сумма вида , где числа , называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член называется общим членом ряда.
Суммы
Составленные из первых членов ряда, называются частными суммами этого ряда.
Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм . Если при бесконечном возрастании номера частичная сумма ряда стремится к пределу , то ряд называется сходящимся, а число - суммой сходящегося ряда, т.е. или . Эта запись равносильна записи .
Если частичная сумма ряда при неограниченном возрастании не имеет конечного предела (в частности, стремится к или ), то такой ряд называется расходящимся.
Если ряд сходится, то значение при достаточно большом является приближенным выражением суммы ряда .
Разность называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е. , и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.
Пример: записать ряд по его заданному общему члену .
Полагая , имеет бесконечную последовательность чисел: . Сложив ее члены, получим ряд .
|
Пример: записать ряд по его заданному общему члену .
Полагая , имеет бесконечную последовательность чисел: . Сложив ее члены, получим ряд .
Пример: записать ряд по его заданному общему члену .
Полагая и учитывая, что , получим ряд .
Пример: найти - й член ряда по его данным первым членам .
Знаменатели членов ряда, начиная с третьего, являются нечетными числами; следовательно, - й член ряда имеет вид .
Пример: найти - й член ряда по его данным первым членам .
Числители членов ряда представляют собой квадратные корни из натуральных чисел, а их соответствующие знаменатели равны . Знаки чередуются по закону . Общий член ряда имеет вид .
Пример: найти - й член ряда по его данным первым членам .
Числители членов ряда образуют натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели – натуральный ряд чисел, начиная с . Знаки чередуются по закону или по закону . Значит - й член ряда имеет вид или .
Пример: найти сумму членов ряда .
Находим частичные суммы членов ряда:
Запишем последовательность частичных сумм: . Общий член этой последовательности есть . Следовательно, . Последовательность частичных сумм имеет предел, равный . Итак, ряд сходится и его сумма равна .
Необходимый признак сходимости ряда
Ряд может сходится только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера стремится к нулю: .
Если , то ряд расходится – это достаточный признак расходимости ряда.
Пример: Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости .
Находим . Необходимый признак сходимости ряда выполняется.
Пример: Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости .
Имеем . Здесь выполняется достаточный признак расходимости ряда; следовательно, ряд расходится.
Пример: Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости .
Находим . Необходимый признак сходимости ряда выполняется.
Достаточный признак сходимости ряда с положительными членами
Признак Даламбера: Если для ряда с положительными членами выполняется условие , то ряд сходится при и расходится при .
Признак Даламбера не дает ответа, если . В этом случае для исследования применяются другие приемы.
Пример: Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера
Подставив в общий член ряда вместо n число n+1, получим . Найдем предел отношения (n+1) –го члена к n –му члену при n :
. Следовательно, данный ряд сходится.
Числовые последовательности
Под числовой последовательностью понимается функция заданная на множестве натуральных чисел. Кратко последовательность обозначается в виде или . Число называется первым членом (элементом) последовательности, - вторым, …, - общим или -м членом последовательности.
|
Чаще всего последовательность задается формулой его общего члена. Формула позволяет вычислить любой член последовательности по номеру .
Так, равенства
Задают соответственно последовательности
Последовательность называется ограниченной, если существует такое число , что для любого выполняется неравенство . В противном случае последовательность называется неограниченной. Легко видеть, что последовательности и ограничены, а и - неограниченны.
Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если для любого выполняется неравенство . Аналогично определяется убывающая (невозрастающая) последовательность.
Все эти последовательности называются монотонными последовательностями. Последовательности , и монотонные, а - не монотонная.
Если все элементы последовательности равны одному и тому же числу , то ее называют постоянной.
Другой способ задания числовых последовательностей – рекуррентный способ. В нем задается начальный элемент (первый член последовательности) и правило определения -го элемента по -му: . Таким образом, , и т.д. При таком способе задания последовательности для определения -го члена надо сначала посчитать все предыдущих.
Степенные ряды
Степенным рядом называется ряд вида , где числа называются коэффициентами ряда, а член - общим членом ряда.
Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений , при которых данный ряд сходится.
Число называется радиусом сходимости степенного ряда, если при ряд сходится и при том абсолютно, а при ряд расходится.
Если существует предел , то радиус сходимости ряда равен этому пределу и степенной ряд сходится при , т.е. в промежутке , который называется промежутком (интервалом) сходимости.
Если предел равен нулю , то степенной ряд сходится в единственной точке .
На концах промежутка ряд может сходиться (абсолютно или условно), но может и расходится. Сходимость степенного ряда при и исследуется с помощью какого-либо из признаков сходимости.
Пример: дан ряд . Исследовать его сходимость в точках .
При данный ряд превращается в числовой ряд . Исследуем сходимость этого ряда по признаку Даламбера. Имеем ;
, т.е. ряд сходится.
При получим ряд или , который расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда .
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!